Calculateur de médiatrice de segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe le segment en son milieu PERPENDICULAIREMENT (à 90°). C'est l'une des constructions les plus importantes en géométrie : c'est la droite unique constituée de tous les points équidistants des deux extrémités du segment. La Calculatrice de médiatrice prend les coordonnées de deux extrémités et renvoie l'équation de la médiatrice. Ce tutoriel explique ce qui rend la médiatrice spéciale, la dérivation de l'équation, et son rôle plus large dans la géométrie des triangles (centre du cercle circonscrit, théorème de la médiatrice).

Deux propriétés définissantes

Une droite est la médiatrice du segment AB si ET SEULEMENT SI les deux conditions suivantes sont remplies :

1. Elle passe par le milieu de AB.
2. Elle est perpendiculaire (à 90°) à AB.

Aucune propriété seule ne suffit. Une droite passant par le milieu mais non perpendiculaire est simplement une « médiante » (non perpendiculaire). Une droite perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu est simplement une « droite perpendiculaire » (non médiatrice). La médiatrice est la droite unique satisfaisant les deux conditions.

La propriété d'équidistance

La médiatrice possède une propriété remarquable — sa définition par lieu géométrique :

Un point appartient à la médiatrice du segment AB si et seulement s'il est équidistant de A et de B.

C'est le Théorème de la médiatrice. Cela signifie :

• Tout point de la médiatrice est également distant des deux extrémités.
• Réciproquement, tout point équidistant de A et de B se trouve sur la médiatrice.

Géométriquement : la médiatrice est l'ENSEMBLE DE TOUS LES POINTS situés à égale distance de A et de B. Cette caractérisation par lieu géométrique explique pourquoi la médiatrice apparaît dans tant de constructions basées sur la distance.

Exemple résolu — trouver la médiatrice

Trouver la médiatrice du segment allant de A = (2, 1) à B = (8, 5).

Étape 1 : Trouver le milieu.

M = ((2 + 8) / 2, (1 + 5) / 2) = (5, 3).

Étape 2 : Trouver la pente de AB.

m_AB = (5 − 1) / (8 − 2) = 4 / 6 = 2/3.

Étape 3 : Prendre l'inverse négatif pour la pente perpendiculaire.

m_perp = −1 / (2/3) = −3/2.

Étape 4 : Écrire l'équation sous forme point-pente.

y − 3 = (−3/2)(x − 5)

Ou sous forme réduite : y = (−3/2)x + 15/2 + 3 = y = (−3/2)x + 10.5.

Vérification — vérifier l'équidistance

Choisir un point sur la médiatrice — disons (5, 3) (le milieu). Distance à A = √((5−2)² + (3−1)²) = √13. Distance à B = √((5−8)² + (3−5)²) = √13. Égales. ✓

Essayer un autre point. D'après l'équation de la médiatrice, pour x = 1 : y = −1.5 + 10.5 = 9. Distance de (1, 9) à A = √(1 + 64) = √65. À B = √(49 + 16) = √65. Égales. ✓

Le centre du cercle circonscrit

L'un des quatre « centres » classiques du triangle : le centre du cercle circonscrit est le point où se rencontrent les trois médiatrices des côtés d'un triangle. C'est le centre du cercle circonscrit — le cercle unique passant par les trois sommets.

Pourquoi les trois se rencontrent en un seul point : chaque médiatrice est le lieu géométrique des points équidistants de deux sommets du triangle. Là où la médiatrice du côté AB rencontre celle du côté BC, le point est équidistant de A, B, ET C — donc il se trouve aussi sur la médiatrice du côté CA. Les trois concourent.

La distance du centre du cercle circonscrit à chaque sommet est égale au rayon du cercle circonscrit R. Pour un triangle obtusangle, le centre du cercle circonscrit se trouve À L'EXTÉRIEUR du triangle.

Construction à la règle et au compas

La médiatrice est l'une des constructions fondamentales à la règle et au compas :

1. Ouvrez votre compas à une largeur supérieure à la moitié de la longueur du segment.
2. Placez le compas sur une extrémité, tracez un arc de part et d'autre du segment.
3. Sans changer l'ouverture du compas, placez-le sur l'autre extrémité, tracez un arc de part et d'autre. Les arcs se croisent en DEUX points (un au-dessus du segment, un en dessous).
4. Utilisez une règle pour relier ces deux points d'intersection. C'est la médiatrice.

Pourquoi cela fonctionne : grâce au réglage du compas, les deux points d'intersection sont équidistants des deux extrémités (chacun a été touché par les deux arcs au même rayon). D'après le théorème de la médiatrice, ces points équidistants se trouvent sur la médiatrice, donc la droite qui les relie EST bien la médiatrice.

La formule de la pente perpendiculaire

Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont perpendiculaires si et seulement si :

m₁ × m₂ = −1

(équivalent à m₂ = −1/m₁ — l'« inverse négatif »).

Cas particuliers :

• Segment horizontal (pente 0) : la pente perpendiculaire est indéfinie → la médiatrice est verticale.
• Segment vertical (pente indéfinie) : la pente perpendiculaire est 0 → la médiatrice est horizontale.
• Pente 1 : la pente perpendiculaire est −1.

Applications pratiques

• Localisation d'installations équidistantes. Une nouvelle caserne de pompiers doit être équidistante de deux casernes existantes — on la place sur la médiatrice du segment reliant ces deux casernes.
• Problèmes de médiation / d'équité. Diviser une limite de propriété à égale distance de deux bornes utilise le concept de médiatrice.
• Infographie. Les diagrammes de Voronoï partitionnent un plan en fonction de la distance aux points « graines » ; les limites entre les cellules de Voronoï sont les médiatrices des graines.
• Triangulation GPS. Localiser une position à partir de distances à des points connus utilise les intersections de médiatrices.

Erreurs courantes

• Utiliser la pente originale au lieu de l'inverse négatif. La pente de la médiatrice est l'INVERSE NÉGATIF de la pente du segment, et non la même.
• Oublier qu'elle passe par le milieu. Une droite perpendiculaire à AB mais ne passant pas par le milieu n'est pas une « médiatrice » — c'est juste une droite perpendiculaire. Les deux conditions sont nécessaires.
• Confondre médiatrice et bissectrice. Ce sont des choses différentes : la médiatrice concerne les segments de droite ; la bissectrice divise un angle en deux parties égales.
• Traiter l'« inverse négatif » d'un segment vertical comme indéfini. Un segment vertical a une pente indéfinie ; sa perpendiculaire a une pente de 0 (horizontale). Utilisez la règle du cas particulier, et non la formule générale.