Calculadora de longitud de segmento

Un segmento de recta es la porción recta de una línea entre dos puntos extremos. Su longitud es la distancia en línea recta entre esos extremos, medida mediante la fórmula de la distancia:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Esta Calculadora de Longitud de Segmento toma las coordenadas de los dos puntos extremos y devuelve la longitud del segmento. La fórmula es una aplicación directa del teorema de Pitágoras a las diferencias horizontales y verticales entre los puntos. Este tutorial explica la derivación, recorre ejemplos y muestra cómo la longitud del segmento se relaciona con el desplazamiento, la distancia y el concepto más amplio de métrica.

Cómo la fórmula proviene de Pitágoras

Dados dos puntos P₁ = (x₁, y₁) y P₂ = (x₂, y₂), dibuja un triángulo rectángulo cuyos:

• Cateto horizontal tiene longitud |x₂ − x₁| (la diferencia en las coordenadas x)
• Cateto vertical tiene longitud |y₂ − y₁| (la diferencia en las coordenadas y)
• Hipotenusa es el segmento desde P₁ hasta P₂

Por el teorema de Pitágoras: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Tomando la raíz cuadrada positiva: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Las barras de valor absoluto en los catetos desaparecen al elevar al cuadrado, ya que elevar al cuadrado elimina los signos. Por lo tanto, podemos omitir los valores absolutos en la fórmula.

Ejemplo resuelto 1 — primer cuadrante

Encuentra la longitud del segmento desde P₁ = (3, 1) hasta P₂ = (7, 4).

Δx = 7 − 3 = 4, Δy = 4 − 1 = 3.
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Observa que este es el triángulo rectángulo 3-4-5 oculto dentro de la geometría analítica.

Ejemplo resuelto 2 — coordenadas negativas

Encuentra la longitud desde P₁ = (−2, 1) hasta P₂ = (3, −4).

Δx = 3 − (−2) = 5, Δy = −4 − 1 = −5.
d = √(25 + 25) = √50 ≈ 7.07.

Restar un número negativo es lo mismo que sumar el positivo: 3 − (−2) = 5, no 1. Lo mismo para Δy: −4 − 1 = −5, que elevado al cuadrado es 25.

Ejemplo resuelto 3 — segmento vertical

Encuentra la longitud desde P₁ = (5, 2) hasta P₂ = (5, 8).

Δx = 0, Δy = 6.
d = √(0 + 36) = 6.

Para segmentos puramente verticales (u horizontales), una de las diferencias de coordenadas es 0, y la fórmula se simplifica simplemente al valor absoluto de la otra diferencia.

La extensión en 3D

Para dos puntos en 3D P₁ = (x₁, y₁, z₁) y P₂ = (x₂, y₂, z₂):

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

El patrón se extiende: añade la diferencia al cuadrado de la coordenada z. En cualquier número de dimensiones, la fórmula tiene la misma forma de "suma de diferencias al cuadrado bajo una raíz cuadrada".

Distancia vs desplazamiento

Dos conceptos relacionados pero distintos:

• Distancia (longitud del segmento): siempre un número positivo. La magnitud del segmento. d = √(Δx² + Δy²).
• Desplazamiento: un vector con magnitud Y dirección. Se escribe como (Δx, Δy). Puede ser "negativo" en cualquiera de sus componentes.

Esta calculadora computa la distancia (longitud), que es un escalar. Para obtener el desplazamiento vectorial, observa las diferencias con signo (x₂ − x₁) y (y₂ − y₁) por separado.

Propiedades de la longitud del segmento

• No negativa: la longitud es siempre ≥ 0. El único segmento de "longitud 0" es aquel donde ambos extremos son el mismo punto.
• Simétrica: longitud(P₁, P₂) = longitud(P₂, P₁). La dirección no importa.
• Desigualdad triangular: para cualquier tres puntos P, Q, R, longitud(P, R) ≤ longitud(P, Q) + longitud(Q, R). Ir "a través" de Q nunca es más corto que ir directamente de P a R.

Estas tres propiedades son los axiomas definitorios de un "espacio métrico", una generalización de la distancia a espacios matemáticos abstractos.

Cálculos relacionados

• Punto medio del segmento: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Ver Calculadora de Distancia y Punto Medio.
• Pendiente del segmento: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Ver Calculadora de Pendiente.
• Punto de sección: encontrar un punto que divide el segmento en una razón dada. Ver Calculadora de Fórmula de Sección.
• Bisectriz perpendicular: la línea que cruza el segmento en su punto medio a 90°. Ver Calculadora de Bisectriz de Segmento.

Aplicaciones en el mundo real

• Navegación. Cálculo de la distancia en línea recta entre dos posiciones GPS (para distancias pequeñas en una aproximación de Tierra plana; geometría esférica para escala global).
• Física — cinemática. La distancia recorrida entre dos tiempos es igual a la longitud del segmento entre dos vectores de posición.
• Gráficos por computadora. La distancia entre cualquier dos píxeles de pantalla utiliza esta fórmula directamente.
• Robótica. Los algoritmos de planificación de rutas utilizan la longitud del segmento para evaluar las longitudes de las trayectorias.
• Animación. La interpolación entre dos fotogramas clave a velocidad constante requiere calcular la longitud del segmento para mapear el tiempo a la posición.

Distancia en espacios no euclidianos

La fórmula de la distancia euclidiana asume un plano de coordenadas plano (euclidiano). Otras geometrías utilizan fórmulas de distancia diferentes:

• Distancia de Manhattan (taxista): d = |Δx| + |Δy|. Distancia a lo largo de una cuadrícula (como las calles de Manhattan) en lugar de en diagonal.
• Distancia esférica (escala terrestre): utiliza la fórmula del haversine, que tiene en cuenta la curvatura de la Tierra.
• Distancia hiperbólica: utilizada en la relatividad especial y geometrías no euclidianas.

Para el trabajo escolar y de ingeniería cotidiano, la fórmula euclidiana es la que necesitas.

Errores comunes

• Olvídarse de elevar al cuadrado. La fórmula eleva al cuadrado las diferencias, no solo toma sus valores absolutos. Olvidar elevar al cuadrado da un resultado incorrecto (lineal).
• Olvídarse de la raíz cuadrada al final. La forma pitagórica da d², no d. Toma la raíz cuadrada (√) al final.
• Negativo bajo la raíz. La expresión (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² es siempre ≥ 0 porque es una suma de cuadrados. Si obtuviste un número negativo, cometiste un error algebraico.
• Mezclar fórmulas 2D y 3D. 2D tiene 2 términos al cuadrado, 3D tiene 3. Usar la fórmula incorrecta da una respuesta de dimensión errónea.