Calculateur de longueur de segment

Un segment de droite est la partie rectiligne d'une ligne comprise entre deux extrémités. Sa longueur est la distance en ligne droite entre ces deux extrémités — mesurée à l'aide de la formule de la distance :

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Ce calculateur de longueur de segment prend les coordonnées des deux extrémités et renvoie la longueur du segment. La formule est une application directe du théorème de Pythagore aux différences horizontale et verticale entre les points. Ce tutoriel explique la dérivation, présente des exemples détaillés et montre comment la longueur du segment est liée au déplacement, à la distance et au concept plus large de métrique.

Origine de la formule à partir de Pythagore

Étant donnés deux points P₁ = (x₁, y₁) et P₂ = (x₂, y₂), tracez un triangle rectangle dont :

• Le côté horizontal a pour longueur |x₂ − x₁| (la différence des abscisses)
• Le côté vertical a pour longueur |y₂ − y₁| (la différence des ordonnées)
• L'hypoténuse est le segment reliant P₁ à P₂

D'après le théorème de Pythagore : d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². En prenant la racine carrée positive : d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Les barres de valeur absolue dans les côtés disparaissent lors du carré — le carré élimine les signes. Nous pouvons donc supprimer les valeurs absolues dans la formule.

Exemple résolu 1 — premier quadrant

Trouver la longueur du segment allant de P₁ = (3, 1) à P₂ = (7, 4).

Δx = 7 − 3 = 4, Δy = 4 − 1 = 3.
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Remarquez qu'il s'agit du triangle rectangle 3-4-5 caché dans la géométrie analytique.

Exemple résolu 2 — coordonnées négatives

Trouver la longueur allant de P₁ = (−2, 1) à P₂ = (3, −4).

Δx = 3 − (−2) = 5, Δy = −4 − 1 = −5.
d = √(25 + 25) = √50 ≈ 7,07.

Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé positif — 3 − (−2) = 5, et non 1. Il en va de même pour Δy : −4 − 1 = −5, qui au carré donne 25.

Exemple résolu 3 — segment vertical

Trouver la longueur allant de P₁ = (5, 2) à P₂ = (5, 8).

Δx = 0, Δy = 6.
d = √(0 + 36) = 6.

Pour les segments purement verticaux (ou horizontaux), l'une des différences de coordonnées est nulle, et la formule se simplifie en la simple valeur absolue de l'autre différence.

Extension en 3D

Pour deux points dans l'espace à trois dimensions P₁ = (x₁, y₁, z₁) et P₂ = (x₂, y₂, z₂) :

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

Le motif s'étend : ajoutez la différence au carré des coordonnées z. Dans tout nombre de dimensions, la formule conserve la même forme de « somme des différences au carré sous une racine carrée ».

Distance vs déplacement

Deux concepts liés mais distincts :

• Distance (longueur du segment) : toujours un nombre positif. C'est la grandeur du segment. d = √(Δx² + Δy²).
• Déplacement : un vecteur ayant à la fois une grandeur ET une direction. Noté (Δx, Δy). Peut être « négatif » dans l'une ou l'autre composante.

Ce calculateur calcule la distance (longueur) — un scalaire. Pour obtenir le vecteur déplacement, examinez les différences signées (x₂ − x₁) et (y₂ − y₁) séparément.

Propriétés de la longueur du segment

• Positivité : la longueur est toujours ≥ 0. Le seul segment de « longueur nulle » est celui dont les deux extrémités sont confondues.
• Symétrie : longueur(P₁, P₂) = longueur(P₂, P₁). L'orientation n'a pas d'importance.
• Inégalité triangulaire : pour trois points quelconques P, Q, R, longueur(P, R) ≤ longueur(P, Q) + longueur(Q, R). Passer « par » Q est toujours plus long ou égal à aller directement de P à R.

Ces trois propriétés sont les axiomes définissant un « espace métrique » — une généralisation de la distance aux espaces mathématiques abstraits.

Calculs connexes

• Milieu du segment : M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Voir Calculateur de distance et de milieu.
• Pente du segment : m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Voir Calculateur de pente.
• Point de division : trouver un point divisant le segment selon un rapport donné. Voir Calculateur de formule de section.
• Médiatrice : la droite qui coupe le segment en son milieu à 90°. Voir Calculateur de médiatrice de segment.

Applications pratiques

• Navigation. Calcul de la distance en ligne droite entre deux positions GPS (pour les petites distances sur une approximation terrestre plate ; géométrie sphérique pour l'échelle mondiale).
• Physique — cinématique. Distance parcourue entre deux instants = longueur du segment entre deux vecteurs position.
• Infographie. La distance entre deux pixels quelconques de l'écran utilise cette formule directement.
• Robotique. Les algorithmes de planification de trajectoire utilisent la longueur du segment pour évaluer les longueurs de parcours.
• Animation. L'interpolation entre deux images clés à vitesse constante nécessite de calculer la longueur du segment pour mapper le temps sur la position.

Distance dans les espaces non euclidiens

La formule de la distance euclidienne suppose un plan de coordonnées plat (euclidien). D'autres géométries utilisent des formules de distance différentes :

• Distance de Manhattan (taximètre) : d = |Δx| + |Δy|. Distance le long d'une grille (comme les rues de Manhattan) plutôt qu'en diagonale.
• Distance sphérique (échelle terrestre) : utiliser la formule du haversine, qui tient compte de la courbure de la Terre.
• Distance hyperbolique : utilisée en relativité restreinte et dans les géométries non euclidiennes.

Pour les travaux scolaires et techniques quotidiens, la formule euclidienne est celle qu'il vous faut.

Erreurs courantes

• Oublier de mettre au carré. La formule met au carré les différences, et ne se contente pas d'en prendre la valeur absolue. Oublier de mettre au carré donne un résultat erroné (linéaire).
• Oublier la racine carrée à la fin. La forme pythagoricienne donne d², et non d. Prenez √ à la fin.
• Racine carrée d'un nombre négatif. L'expression (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² est toujours ≥ 0 car il s'agit d'une somme de carrés. Si vous obtenez un nombre négatif, vous avez commis une erreur algébrique.
• Mélanger les formules 2D et 3D. La 2D comporte 2 termes au carré, la 3D en comporte 3. Utiliser la mauvaise formule donne un résultat de dimension incorrecte.