Calculadora de la desigualdad triangular

El Teorema de la Desigualdad Triangular es una de las afirmaciones más fundamentales en la geometría plana: la suma de cualquier dos lados de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado. Equivalentemente, ningún lado puede ser más largo que (o igual a) la suma de los otros dos. Este tutorial demuestra el teorema, explica por qué importa el "estrictamente mayor", muestra cómo probar cualquier conjunto candidato de tres longitudes y demuestra cómo la misma desigualdad se generaliza a normas vectoriales y espacios métricos.

El teorema enunciado de tres maneras

Para cualquier triángulo con lados a, b, c, deben cumplirse las tres siguientes condiciones:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Enunciado compacto equivalente: el lado más largo debe ser menor que la suma de los otros dos.

La desigualdad estricta es importante. Si a + b = c exactamente, el "triángulo" se colapsa en un único segmento de recta — los tres puntos son colineales. Este caso degenerado no es un triángulo.

Por qué es cierto el teorema — intuición geométrica

Piense en construir un triángulo colocando tres palos extremo con extremo e intentando cerrarlos en un bucle. Supongamos que los palos tienen longitudes a = 3, b = 4, c = 10.

Coloque c plano sobre el suelo. Desde un extremo, articule el palo a hacia arriba. Desde el otro extremo de c, articule el palo b hacia arriba. Ahora intente hacer que los extremos libres de a y b se encuentren.

Lo máximo que a puede extenderse desde su base es 3 unidades hacia arriba (si va recto vertical). Lo máximo que b puede extenderse desde su base es 4 unidades hacia arriba. Las dos bases están separadas 10 unidades. Incluso si ambos palos van recto vertical, sus extremos libres están separados 10 unidades horizontalmente — no pueden encontrarse. Conclusión: no existe ningún triángulo con lados 3, 4, 10.

Si sustituimos c = 10 por c = 6, las bases ahora están separadas 6 unidades, y el palo a (longitud 3) puede alcanzar como máximo 3 unidades. Por lo tanto, a + b = 7 debe exceder a c = 6 — y 7 > 6, así que funciona. Los dos extremos libres pueden encontrarse en algún punto por encima de la línea, formando el triángulo.

Demostración formal — usando el principio del camino más corto

El camino más corto entre dos puntos es la línea recta que los conecta. Cualquier otro camino es estrictamente más largo.

Suponga que un triángulo tiene vértices A, B, C, con el lado opuesto a cada uno etiquetado como a, b, c respectivamente. El camino directo de A a B (longitud c) es más corto que el camino de A a C a B (longitud b + a). Por lo tanto c < b + a, es decir, a + b > c.

El mismo argumento aplicado a los otros dos pares de vértices da a + c > b y b + c > a.

Probando tres números

Para verificar si (a, b, c) puede formar un triángulo, solo necesita probar el lado más largo. Si el lado más largo es menor que la suma de los otros dos, el triángulo es válido. Si es igual o excede esa suma, no hay triángulo.

Ejemplos de pruebas:

• (3, 4, 5): el más largo es 5. La suma de los otros dos es 7. 5 < 7 ✓ — triángulo válido (el famoso triángulo rectángulo 3-4-5).
• (5, 7, 12): el más largo es 12. La suma de los otros dos es 12. 12 ≥ 12 ✗ — degenerado (una línea recta).
• (2, 3, 6): el más largo es 6. La suma de los otros dos es 5. 6 > 5 ✗ — imposible.
• (1, 1, 1): el más largo es 1. La suma de los otros dos es 2. 1 < 2 ✓ — válido (triángulo equilátero).

Rango del tercer lado, dados dos

Conocer dos lados restringe al tercero. Si se dan a y b, el tercer lado c debe satisfacer:

|a − b| < c < a + b

El límite superior es la desigualdad triangular. El límite inferior es la misma desigualdad aplicada a una combinación diferente: si c fuera menor o igual a |a − b|, el más largo de a, b excedería la suma c + (el más corto de a, b), violando la desigualdad.

Ejemplo: a = 4, b = 7. Entonces 3 < c < 11. El tercer lado puede ser cualquier número real estrictamente entre 3 y 11.

Por qué importa la "desigualdad estricta"

El caso límite a + b = c produce un "triángulo degenerado" — tres puntos colineales. Algunos libros de texto incluyen triángulos degenerados en su definición de "triángulo" (por lo que la desigualdad se convierte en ≤). La convención predominante requiere una desigualdad estricta, y la mayoría de las calculadoras (incluida la nuestra) tratan el caso de igualdad como inválido.

El mismo teorema en forma vectorial

La Desigualdad Triangular se generaliza a vectores. Para cualesquiera dos vectores u y v en cualquier número de dimensiones:

|u + v| ≤ |u| + |v|

(con igualdad solo cuando u y v apuntan exactamente en la misma dirección, el caso degenerado). Esta es la desigualdad triangular para la norma euclidiana. La misma forma se generaliza aún más a espacios de producto interno, espacios lineales normados y espacios métricos — la desigualdad es uno de los tres axiomas definitorios de una métrica d: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Así que la desigualdad triangular geométrica no es solo una curiosidad de la geometría plana — es la propiedad definitoria de "distancia" en matemáticas.

Errores comunes

• Comprobar solo una de las tres desigualdades. Las tres deben cumplirse. (3, 4, 5) satisface a + b > c, pero aún necesitaría a + c > b y b + c > a — afortunadamente, las tres se cumplen. Para (3, 4, 8), a + b > c falla: 3 + 4 = 7 < 8, por lo que es inválido. Solo necesita encontrar UN fallo para descartar el triángulo, pero la calculadora prueba las tres para mayor claridad.
• Usar ≥ en lugar de >. Desigualdad estricta. Un "triángulo" degenerado con los tres puntos colineales no es un triángulo.
• Confundir "triángulo válido" con "triángulo rectángulo válido". La desigualdad triangular determina si existe CUALQUIER triángulo. Para verificar si el triángulo es rectángulo, compruebe por separado a² + b² = c² (prueba pitagórica, donde c es el más largo).
• Olvídese de que todos los lados deben ser positivos. Una longitud de lado de 0 o negativa no puede formar un triángulo sin importar cuáles sean los demás.