Calculateur d'inégalité triangulaire

Le théorème de l'inégalité triangulaire est l'une des affirmations les plus fondamentales de la géométrie plane : la somme de deux côtés quelconques d'un triangle doit être strictement supérieure au troisième côté. De manière équivalente, aucun côté ne peut être plus long (ou égal) à la somme des deux autres. Ce tutoriel démontre le théorème, explique pourquoi le caractère « strictement supérieur » est important, montre comment tester tout triplet de longueurs candidat, et illustre comment cette même inégalité se généralise aux normes vectorielles et aux espaces métriques.

Le théorème énoncé de trois façons

Pour tout triangle ayant pour côtés a, b et c, les trois conditions suivantes doivent être vérifiées :

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Énoncé compact équivalent : le côté le plus long doit être inférieur à la somme des deux autres côtés.

L'inégalité stricte est importante. Si a + b = c exactement, le « triangle » s'effondre en un seul segment de droite — les trois points sont alignés. Ce cas dégénéré n'est pas un triangle.

Pourquoi le théorème est vrai — intuition géométrique

Imaginez construire un triangle en disposant trois bâtons bout à bout et en essayant de les fermer en une boucle. Supposons que les bâtons aient pour longueurs a = 3, b = 4 et c = 10.

Placez c à plat sur le sol. À partir d'une extrémité, pivotez le bâton a vers le haut. À partir de l'autre extrémité de c, pivotez le bâton b vers le haut. Essayez maintenant de faire se rencontrer les extrémités libres de a et b.

La distance maximale que a peut atteindre depuis sa base est de 3 unités (s'il est vertical). La distance maximale que b peut atteindre depuis sa base est de 4 unités. Les deux bases sont distantes de 10 unités. Même si les deux bâtons sont parfaitement verticaux, leurs extrémités libres restent séparées horizontalement de 10 unités — elles ne peuvent pas se rejoindre. Conclusion : il n'existe aucun triangle de côtés 3, 4 et 10.

Si nous remplaçons c = 10 par c = 6, les bases sont désormais distantes de 6 unités, et le bâton a (de longueur 3) peut atteindre au maximum 3 unités. Ainsi, a + b = 7 doit être supérieur à c = 6 — et comme 7 > 6, cela fonctionne. Les deux extrémités libres peuvent se rencontrer en un point situé au-dessus de la ligne, formant ainsi le triangle.

Démonstration formelle — utilisant le principe du chemin le plus court

Le chemin le plus court entre deux points est la droite qui les relie. Tout autre chemin est strictement plus long.

Supposons qu'un triangle ait pour sommets A, B et C, avec les côtés opposés respectivement étiquetés a, b et c. Le trajet direct de A à B (de longueur c) est plus court que le trajet passant par C, de A à C puis à B (de longueur b + a). Par conséquent, c < b + a, c'est-à-dire a + b > c.

Le même raisonnement appliqué aux deux autres paires de sommets donne a + c > b et b + c > a.

Tester trois nombres

Pour vérifier si (a, b, c) peut former un triangle, il suffit de tester le côté le plus long. Si le côté le plus long est inférieur à la somme des deux autres, le triangle est valide. S'il est égal ou supérieur à cette somme, aucun triangle n'existe.

Exemples de tests :

• (3, 4, 5) : le côté le plus long est 5. La somme des deux autres est 7. 5 < 7 ✓ — triangle valide (le célèbre triangle rectangle 3-4-5).
• (5, 7, 12) : le côté le plus long est 12. La somme des deux autres est 12. 12 ≥ 12 ✗ — cas dégénéré (une droite).
• (2, 3, 6) : le côté le plus long est 6. La somme des deux autres est 5. 6 > 5 ✗ — impossible.
• (1, 1, 1) : le côté le plus long est 1. La somme des deux autres est 2. 1 < 2 ✓ — valide (triangle équilatéral).

Plage de valeur du troisième côté, connaissant les deux autres

Connaître deux côtés contraint la valeur du troisième. Si a et b sont donnés, le troisième côté c doit satisfaire :

|a − b| < c < a + b

La borne supérieure correspond à l'inégalité triangulaire. La borne inférieure résulte de la même inégalité appliquée à un appariement différent : si c était inférieur ou égal à |a − b|, le plus grand des côtés a ou b dépasserait la somme c + (le plus petit des côtés a ou b), violant ainsi l'inégalité.

Exemple : a = 4, b = 7. Alors 3 < c < 11. Le troisième côté peut être n'importe quel nombre réel strictement compris entre 3 et 11.

Pourquoi l'« inégalité stricte » est importante

Le cas limite a + b = c produit un « triangle dégénéré » — trois points alignés. Certains manuels incluent les triangles dégénérés dans leur définition de « triangle » (l'inégalité devient alors ≤). La convention majoritaire exige une inégalité stricte, et la plupart des calculateurs (y compris le nôtre) considèrent le cas d'égalité comme invalide.

Le même théorème sous forme vectorielle

L'inégalité triangulaire se généralise aux vecteurs. Pour deux vecteurs quelconques u et v, dans un nombre quelconque de dimensions :

|u + v| ≤ |u| + |v|

(avec égalité uniquement lorsque u et v ont exactement la même direction, ce qui correspond au cas dégénéré). Il s'agit de l'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne. Cette forme se généralise encore davantage aux espaces préhilbertiens, aux espaces vectoriels normés et aux espaces métriques — l'inégalité constituant l'un des trois axiomes définissant une métrique d : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Ainsi, l'inégalité triangulaire géométrique n'est pas seulement une curiosité de la géométrie plane — elle est la propriété définissante de la « distance » en mathématiques.

Erreurs courantes

• Vérifier uniquement l'une des trois inégalités. Les trois doivent être satisfaites. (3, 4, 5) satisfait a + b > c, mais il faudrait aussi vérifier a + c > b et b + c > a — heureusement, les trois sont vraies. Pour (3, 4, 8), a + b > c échoue : 3 + 4 = 7 < 8, donc c'est invalide. Il suffit de trouver UNE seule violation pour exclure le triangle, mais le calculateur teste les trois pour plus de clarté.
• Utiliser ≥ au lieu de >. L'inégalité est stricte. Un « triangle » dégénéré dont les trois points sont alignés n'est pas un triangle.
• Confondre « triangle valide » avec « triangle rectangle valide ». L'inégalité triangulaire détermine s'il existe UN triangle quelconque. Pour vérifier si le triangle est rectangle, testez séparément a² + b² = c² (test de Pythagore, où c est le côté le plus long).
• Oublier que tous les côtés doivent être positifs. Une longueur de côté nulle ou négative ne peut former un triangle, quelle que soit la valeur des autres côtés.