Tutoriel Solveur Triangle — Méthodes SSS, SAS, ASA, AAS, SSA Expliquées

Résoudre un triangle signifie : étant donné seulement trois des six parties d'un triangle (trois côtés + trois angles), trouver les trois autres. La méthode exacte dépend de quelles trois vous avez. Cinq cas nommés couvrent toutes les combinaisons solubles : SSS, SAS, ASA, AAS, SSA. Ce guide parcourt chacun avec les formules nécessaires et un exemple résolu, puis explique pourquoi SSA est « ambigu » et comment le gérer.

Les six parties d'un triangle

Chaque triangle possède 6 parties mesurables : trois côtés (généralement étiquetés a, b, c) et trois angles (A, B, C — chacun opposé au côté de la même lettre). Vous n'avez besoin que de 3 d'entre eux — à condition qu'au moins l'un soit un côté — pour résoudre le reste. Les 5 combinaisons « données » valides sont les méthodes ci-dessous.

Les deux formules maîtresses

Les cinq méthodes se réduisent toutes à l'une de ces deux relations :

• Loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
  Résout un côté lorsque vous avez deux côtés + l'angle inclus, ou résout un angle lorsque vous avez les trois côtés.
• Loi des sinus : a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
  Résout un côté lorsque vous avez un côté + son angle opposé + un autre angle, ou résout un angle lorsque vous avez deux côtés + un angle opposé.

Méthode 1 — SSS (Trois côtés)

Quand l'utiliser : Vous connaissez les trois longueurs de côtés a, b, c.
Étapes :

1. Utilisez la loi des cosinus pour trouver n'importe quel angle : cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) → C = arccos(…)
2. Utilisez la loi des sinus pour trouver un deuxième angle.
3. Troisième angle = 180° − (somme des deux premiers).

Exemple : a = 5, b = 7, c = 9. Trouver les trois angles.

• cos(C) = (25 + 49 − 81) / (2 × 5 × 7) = −7 / 70 = −0.1 → C ≈ 95,74°
• sin(A) / 5 = sin(95,74°) / 9 → sin(A) ≈ 5 × 0,9950 / 9 ≈ 0,5528 → A ≈ 33,56°
• B = 180° − 95,74° − 33,56° = 50,70°

SSS donne toujours un triangle unique (à condition que l'inégalité triangulaire a + b > c soit vérifiée pour les trois paires).

Méthode 2 — SAS (Deux côtés + angle inclus)

Quand l'utiliser : Vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux (par ex. a, b, C).
Étapes :

1. Loi des cosinus pour trouver le côté manquant opposé à l'angle connu : c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
2. Loi des sinus pour trouver un autre angle.
3. Troisième angle = 180° − somme des deux autres.

Exemple : a = 8, b = 10, C = 60°. Trouver c, A, B.

• c² = 64 + 100 − 2(8)(10) cos(60°) = 164 − 160 × 0,5 = 84 → c ≈ 9,17
• sin(A) / 8 = sin(60°) / 9,17 → sin(A) ≈ 8 × 0,8660 / 9,17 ≈ 0,7558 → A ≈ 49,11°
• B = 180° − 60° − 49,11° = 70,89°

SAS donne toujours un triangle unique.

Méthode 3 — ASA (Deux angles + côté inclus)

Quand l'utiliser : Vous connaissez deux angles et le côté entre eux (par ex. A, B, c).
Étapes :

1. Troisième angle = 180° − A − B.
2. Loi des sinus pour trouver chacun des autres côtés.

Exemple : A = 50°, B = 60°, c = 12. Trouver C, a, b.

• C = 180° − 50° − 60° = 70°
• a / sin(50°) = 12 / sin(70°) → a = 12 × 0,766 / 0,9397 ≈ 9,78
• b / sin(60°) = 12 / sin(70°) → b = 12 × 0,866 / 0,9397 ≈ 11,06

ASA donne toujours un triangle unique (deux angles quelconques dont la somme est inférieure à 180° + un côté positif quelconque définissent un triangle).

Méthode 4 — AAS (Deux angles + un côté non inclus)

Quand l'utiliser : Vous connaissez deux angles et un côté qui n'est pas entre eux (par ex. A, B, a).
Étapes : Identiques à ASA — calculer le troisième angle, puis utiliser la loi des sinus pour les côtés restants. La seule différence avec ASA est la position du côté connu (ici il est opposé à l'un des angles connus).

Exemple : A = 45°, B = 65°, a = 7. Trouver C, b, c.

• C = 180° − 45° − 65° = 70°
• b / sin(65°) = 7 / sin(45°) → b = 7 × 0,9063 / 0,7071 ≈ 8,97
• c / sin(70°) = 7 / sin(45°) → c = 7 × 0,9397 / 0,7071 ≈ 9,30

Méthode 5 — SSA (Le cas ambigu)

Quand l'utiliser : Vous connaissez deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux (pas entre eux — par ex. a, b, A).
Pourquoi « ambigu » : SSA peut produire zéro, un ou deux triangles valides selon les valeurs spécifiques. C'est le seul cas nécessitant une vérification de cas.

Étapes pour gérer SSA :

1. Loi des sinus pour trouver l'angle opposé à l'autre côté connu : sin(B) = b × sin(A) / a
2. Si sin(B) > 1 → aucun triangle n'existe (le côté donné est trop court pour atteindre).
3. Si sin(B) = 1 → exactement un triangle rectangle (B = 90°).
4. Si sin(B) < 1 → deux candidats : B₁ = arcsin(…), B₂ = 180° − B₁. Les deux peuvent donner des triangles valides si A + B₂ < 180°.
5. Pour chaque B valide, terminer via ASA : C = 180° − A − B, puis c via la loi des sinus.

Exemple (deux solutions) : a = 6, b = 8, A = 35°. Trouver B, C, c.

• sin(B) = 8 × sin(35°) / 6 = 8 × 0,5736 / 6 ≈ 0,7648
• B₁ ≈ 49,86°, B₂ = 180° − 49,86° = 130,14°
• Vérification B₂ : A + B₂ = 35° + 130,14° = 165,14° < 180° → les deux valides
• Triangle 1 : C = 180° − 35° − 49,86° = 95,14°, c = 6 × sin(95,14°) / sin(35°) ≈ 10,41
• Triangle 2 : C = 180° − 35° − 130,14° = 14,86°, c = 6 × sin(14,86°) / sin(35°) ≈ 2,68

C'est pourquoi les manuels mettent en garde contre SSA : les problèmes du monde réel avec des angles mesurés peuvent tomber dans la zone ambiguë, et vous avez besoin d'un contexte géométrique (par ex. « le triangle le plus court possible ») pour choisir la bonne solution.

Organigramme diagnostique — Quelle méthode utiliser ?

1. Comptez ce qui vous est donné.
2. Si les 3 sont des côtés → SSS
3. Si 2 côtés + 1 angle :
   • L'angle est entre les deux côtés → SAS
   • L'angle est opposé à l'un des côtés (pas entre) → SSA (vérifier l'ambiguïté)
4. Si 2 angles + 1 côté :
   • Le côté est entre les deux angles → ASA
   • Le côté est opposé à l'un des angles → AAS
5. Si 3 angles (AAA) → triangles similaires infinis, aucune solution unique. AAA définit la forme mais pas la taille ; vous avez besoin d'au moins un côté.

Erreurs courantes

• Utiliser la loi des sinus quand la loi des cosinus est nécessaire — la loi des sinus exige qu'une paire côté-angle soit opposée. Pour SSS ou SAS, vous devez commencer par la loi des cosinus.
• Oublier la deuxième solution ambiguë de SSA — vérifiez toujours si B₂ = 180° − B₁ satisfait également A + B₂ < 180°.
• Confondre radians et degrés sur votre calculatrice — tous les exemples ci-dessus supposent le mode degrés. Si votre réponse est « complètement fausse d'un facteur d'environ 60 », vous êtes en mode radians.
• Mélanger les appariements côté ↔ angle opposé — le côté a est opposé à l'angle A, pas à l'angle a. Glissement d'étiquetage courant sur les figures dessinées à la main.
• Penser que SSA signifie « aucun triangle possible » — SSA n'échoue pas toujours ; il nécessite simplement une vérification de cas. SSS, SAS, ASA, AAS sont toujours non ambigus.

FAQ

Quelle est la différence entre ASA et AAS ? La position du côté connu. Dans ASA, le côté est entre les deux angles connus ; dans AAS, il est opposé à l'un d'eux. Les deux donnent toujours un triangle unique, mais la séquence de formules diffère légèrement (dans AAS, vous trouvez toujours d'abord le troisième angle via 180° − somme, puis appliquez la loi des sinus).

Pourquoi n'y a-t-il pas de « SSS L