「三角形を解く」とは、三角形の6つの部分（3つの辺 + 3つの角）のうちちょうど3つが与えられた場合に、残りの3つを見つけることを意味します。正確な方法は、どの3つが与えられているかによります。5つの名前付きケースが、解けるすべての組み合わせをカバーします：SSS, SAS, ASA, AAS, SSA。このガイドでは、それぞれについて必要な公式と具体例を示し、SSAが「曖昧」である理由とその扱い方を説明します。
三角形の6つの部分
すべての三角形には、3つの辺（通常a、b、cと表記）と3つの角（A、B、C — それぞれ同じ文字の辺の向かい側）という6つの測定可能な部分があります。少なくとも1つが辺であれば、そのうち3つだけがあれば残りを解くことができます。5つの有効な「与えられた」組み合わせが、以下の方法です。
2つの基本公式
5つの方法はすべて、次の2つの関係式のいずれかに帰着します。
- 余弦定理: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
2辺とその間の角が与えられたときに辺を解く、または3辺すべてが与えられたときに角を解く。
- 正弦定理: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
辺とその向かい側の角、さらに別の角が与えられたときに辺を解く、または2辺とそのうちの1つの向かい側の角が与えられたときに角を解く。
方法1 — SSS（3辺）
使用する場合: 3辺の長さa、b、cがすべてわかっている。
手順:
- 余弦定理を使って任意の1つの角を求める: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) → C = arccos(…)
- 正弦定理を使って2番目の角を求める。
- 3番目の角 = 180° − (最初の2つの和)。
例: a = 5, b = 7, c = 9。3つの角をすべて求める。
- cos(C) = (25 + 49 − 81) / (2 × 5 × 7) = −7 / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°
- sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → sin(A) ≈ 5 × 0.9950 / 9 ≈ 0.5528 → A ≈ 33.56°
- B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°
SSSは常に一意の三角形を与えます（三角不等式 a + b > c が3組すべてで成り立つ場合）。
方法2 — SAS（2辺とその間の角）
使用する場合: 2辺とその間にある角がわかっている（例: a, b, C）。
手順:
- 余弦定理を使って、既知の角の向かい側の欠けた辺を求める: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
- 正弦定理を使って別の角を求める。
- 3番目の角 = 180° − 他の2つの和。
例: a = 8, b = 10, C = 60°。c、A、Bを求める。
- c² = 64 + 100 − 2(8)(10) cos(60°) = 164 − 160 × 0.5 = 84 → c ≈ 9.17
- sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → sin(A) ≈ 8 × 0.8660 / 9.17 ≈ 0.7558 → A ≈ 49.11°
- B = 180° − 60° − 49.11° = 70.89°
SASは常に一意の三角形を与えます。
方法3 — ASA（2角とその間の辺）
使用する場合: 2つの角とその間にある辺がわかっている（例: A, B, c）。
手順:
- 3番目の角 = 180° − A − B。
- 正弦定理を使って残りの各辺を求める。
例: A = 50°, B = 60°, c = 12。C、a、bを求める。
- C = 180° − 50° − 60° = 70°
- a / sin(50°) = 12 / sin(70°) → a = 12 × 0.766 / 0.9397 ≈ 9.78
- b / sin(60°) = 12 / sin(70°) → b = 12 × 0.866 / 0.9397 ≈ 11.06
ASAは常に一意の三角形を与えます（180°未満の任意の2つの角と任意の正の辺で一意の三角形が定義されます）。
方法4 — AAS（2角と非隣接辺）
使用する場合: 2つの角と、それらの間ではない辺がわかっている（例: A, B, a）。
手順: ASAと同じ — 3番目の角を計算し、残りの辺に正弦定理を適用する。ASAとの唯一の違いは、既知の辺の位置（ここでは既知の角の1つの向かい側）です。
例: A = 45°, B = 65°, a = 7。C、b、cを求める。
- C = 180° − 45° − 65° = 70°
- b / sin(65°) = 7 / sin(45°) → b = 7 × 0.9063 / 0.7071 ≈ 8.97
- c / sin(70°) = 7 / sin(45°) → c = 7 × 0.9397 / 0.7071 ≈ 9.30
方法5 — SSA（曖昧ケース）
使用する場合: 2辺とそのうちの1つの向かい側の角がわかっている（間ではない — 例: a, b, A）。
「曖昧」である理由: SSAは具体的な値に応じて0個、1個、または2個の有効な三角形を生じることがあります。このケースのみ、ケース確認が必要です。
SSAの扱い方:
- 正弦定理を使って、もう一方の既知の辺の向かい側の角を求める: sin(B) = b × sin(A) / a
- sin(B) > 1 の場合 → 三角形は存在しない（与えられた辺が短すぎて届かない）。
- sin(B) = 1 の場合 → 正確に1つの直角三角形（B = 90°）。
- sin(B) < 1 の場合 → 2つの候補: B₁ = arcsin(…), B₂ = 180° − B₁。A + B₂ < 180° であれば両方とも有効な三角形になる可能性がある。
- 各有効なBについて、ASAで完了: C = 180° − A − B、その後正弦定理でcを求める。
例（2解）: a = 6, b = 8, A = 35°。B、C、cを求める。
- sin(B) = 8 × sin(35°) / 6 = 8 × 0.5736 / 6 ≈ 0.7648
- B₁ ≈ 49.86°, B₂ = 180° − 49.86° = 130.14°
- B₂の確認: A + B₂ = 35° + 130.14° = 165.14° < 180° → 両方有効
- 三角形1: C = 180° − 35° − 49.86° = 95.14°, c = 6 × sin(95.14°) / sin(35°) ≈ 10.41
- 三角形2: C = 180° − 35° − 130.14° = 14.86°, c = 6 × sin(14.86°) / sin(35°) ≈ 2.68
教科書がSSAについて警告するのはこのためです。測定された角を含む実世界の問題は曖昧な領域に入る可能性があり、正しい解を選ぶには幾何学的文脈（例: 「可能な限り最短の三角形」）が必要です。
診断フローチャート — どの方法を使うか？
- 与えられたものを数える。
- 3つすべてが辺の場合 → SSS
- 2辺 + 1角の場合:
- 角が2辺の間にある → SAS
- 角が辺の1つの向かい側にある（間ではない） → SSA（曖昧性を確認）
- 2角 + 1辺の場合:
- 辺が2角の間にある → ASA
- 辺が角の1つの向かい側にある → AAS
- 3角の場合（AAA） → 無限に相似な三角形、一意の解なし。AAAは形を定義するが大きさを定義しない。少なくとも1つの辺が必要。
よくある間違い
- 余弦定理が必要なときに正弦定理を使う — 正弦定理は辺と角が互いに向かい合っているペアを必要とします。SSSやSASでは、余弦定理から始めなければなりません。
- SSAの曖昧な2番目の解を忘れる — B₂ = 180° − B₁ も A + B₂ < 180° を満たすかどうかを常に確認する。
- 電卓でラジアンと度の混同 — 上記の例はすべて度モードを想定しています。答えが「約60倍程度で大きく間違っている」場合は、ラジアンモードです。
- 辺 ↔ 向かい側の角の対応を混同する — 辺aは角Aの向かい側であり、角aではありません。手描きの図でよくあるラベリングのミスです。
- SSAは「三角形が存在しない」と考える — SSAは常に失敗するわけではありません。ただケース確認が必要です。SSS、SAS、ASA、AASは常に曖昧さがありません。
FAQ
ASAとAASの違いは？ 既知の辺の位置です。ASAでは辺が既知の2角の間にあり、AASではその向かい側にあります。どちらも常に一意の三角形を与えますが、公式の順序はわずかに異なります（AASではまず180° − 和で3番目の角を求め、その後正弦定理を適用）。
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