Dreiecksrechner Tutorial — SSS, SAS, ASA, AAS, SSA Methoden erklärt

„Ein Dreieck lösen“ bedeutet: Bei nur drei der sechs Teile eines Dreiecks (drei Seiten + drei Winkel) die anderen drei finden. Die genaue Methode hängt davon ab, welche drei man hat. Fünf benannte Fälle decken jede lösbare Kombination ab: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA. Diese Anleitung führt durch jeden mit den benötigten Formeln und einem durchgerechneten Beispiel und erklärt dann, warum SSA „zweideutig“ ist und wie man damit umgeht.

Die sechs Teile eines Dreiecks

Jedes Dreieck hat 6 messbare Teile: drei Seiten (üblicherweise mit a, b, c bezeichnet) und drei Winkel (A, B, C — jeweils gegenüber der Seite mit demselben Buchstaben). Man benötigt nur 3 davon — vorausgesetzt, mindestens einer ist eine Seite —, um den Rest zu lösen. Die 5 gültigen „gegebenen“ Kombinationen sind die unten beschriebenen Methoden.

Die zwei Master-Formeln

Alle fünf Methoden lassen sich auf eine dieser beiden Beziehungen zurückführen:

• Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
  Löst eine Seite, wenn man zwei Seiten + den eingeschlossenen Winkel hat, oder löst einen Winkel, wenn man alle drei Seiten hat.
• Sinussatz: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
  Löst eine Seite, wenn man eine Seite + ihren gegenüberliegenden Winkel + einen weiteren Winkel hat, oder löst einen Winkel, wenn man zwei Seiten + einen gegenüberliegenden Winkel hat.

Methode 1 — SSS (drei Seiten)

Wann verwenden: Man kennt alle drei Seitenlängen a, b, c.
Schritte:

1. Kosinussatz verwenden, um einen beliebigen Winkel zu finden: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) → C = arccos(…)
2. Sinussatz verwenden, um einen zweiten Winkel zu finden.
3. Dritter Winkel = 180° − (Summe der ersten beiden).

Beispiel: a = 5, b = 7, c = 9. Alle drei Winkel finden.

• cos(C) = (25 + 49 − 81) / (2 × 5 × 7) = −7 / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°
• sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → sin(A) ≈ 5 × 0.9950 / 9 ≈ 0.5528 → A ≈ 33.56°
• B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°

SSS ergibt immer ein eindeutiges Dreieck (vorausgesetzt, die Dreiecksungleichung a + b > c gilt für alle drei Paare).

Methode 2 — SAS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel)

Wann verwenden: Man kennt zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen (z. B. a, b, C).
Schritte:

1. Kosinussatz verwenden, um die fehlende Seite gegenüber dem bekannten Winkel zu finden: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
2. Sinussatz verwenden, um einen weiteren Winkel zu finden.
3. Dritter Winkel = 180° − Summe der anderen beiden.

Beispiel: a = 8, b = 10, C = 60°. c, A, B finden.

• c² = 64 + 100 − 2(8)(10) cos(60°) = 164 − 160 × 0.5 = 84 → c ≈ 9.17
• sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → sin(A) ≈ 8 × 0.8660 / 9.17 ≈ 0.7558 → A ≈ 49.11°
• B = 180° − 60° − 49.11° = 70.89°

SAS ergibt immer ein eindeutiges Dreieck.

Methode 3 — ASA (zwei Winkel + eingeschlossene Seite)

Wann verwenden: Man kennt zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen (z. B. A, B, c).
Schritte:

1. Dritter Winkel = 180° − A − B.
2. Sinussatz verwenden, um jede der anderen Seiten zu finden.

Beispiel: A = 50°, B = 60°, c = 12. C, a, b finden.

• C = 180° − 50° − 60° = 70°
• a / sin(50°) = 12 / sin(70°) → a = 12 × 0.766 / 0.9397 ≈ 9.78
• b / sin(60°) = 12 / sin(70°) → b = 12 × 0.866 / 0.9397 ≈ 11.06

ASA ergibt immer ein eindeutiges Dreieck (beliebige zwei Winkel, die weniger als 180° ergeben, + eine beliebige positive Seite definieren ein Dreieck).

Methode 4 — AAS (zwei Winkel + eine nicht eingeschlossene Seite)

Wann verwenden: Man kennt zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt (z. B. A, B, a).
Schritte: Wie bei ASA — dritten Winkel berechnen, dann Sinussatz für die restlichen Seiten. Der einzige Unterschied zu ASA ist die Position der bekannten Seite (hier liegt sie gegenüber einem der bekannten Winkel).

Beispiel: A = 45°, B = 65°, a = 7. C, b, c finden.

• C = 180° − 45° − 65° = 70°
• b / sin(65°) = 7 / sin(45°) → b = 7 × 0.9063 / 0.7071 ≈ 8.97
• c / sin(70°) = 7 / sin(45°) → c = 7 × 0.9397 / 0.7071 ≈ 9.30

Methode 5 — SSA (der zweideutige Fall)

Wann verwenden: Man kennt zwei Seiten und einen Winkel gegenüber einer von ihnen (nicht dazwischen — z. B. a, b, A).
Warum „zweideutig“: SSA kann je nach den konkreten Werten null, eine oder zwei gültige Dreiecke ergeben. Dies ist der einzige Fall, der eine Fallprüfung erfordert.

Schritte zur Handhabung von SSA:

1. Sinussatz verwenden, um den Winkel gegenüber der anderen bekannten Seite zu finden: sin(B) = b × sin(A) / a
2. Wenn sin(B) > 1 → kein Dreieck existiert (die gegebene Seite ist zu kurz, um zu erreichen).
3. Wenn sin(B) = 1 → genau ein rechtwinkliges Dreieck (B = 90°).
4. Wenn sin(B) < 1 → zwei Kandidaten: B₁ = arcsin(…), B₂ = 180° − B₁. Beide können gültige Dreiecke ergeben, wenn A + B₂ < 180°.
5. Für jedes gültige B über ASA abschließen: C = 180° − A − B, dann c über Sinussatz.

Beispiel (zwei Lösungen): a = 6, b = 8, A = 35°. B, C, c finden.

• sin(B) = 8 × sin(35°) / 6 = 8 × 0.5736 / 6 ≈ 0.7648
• B₁ ≈ 49.86°, B₂ = 180° − 49.86° = 130.14°
• B₂ prüfen: A + B₂ = 35° + 130.14° = 165.14° < 180° → beide gültig
• Dreieck 1: C = 180° − 35° − 49.86° = 95.14°, c = 6 × sin(95.14°) / sin(35°) ≈ 10.41
• Dreieck 2: C = 180° − 35° − 130.14° = 14.86°, c = 6 × sin(14.86°) / sin(35°) ≈ 2.68

Deshalb warnen Lehrbücher vor SSA: reale Probleme mit gemessenen Winkeln können in die zweideutige Zone fallen, und man braucht geometrischen Kontext (z. B. „das kürzestmögliche Dreieck“), um die richtige Lösung auszuwählen.

Diagnose-Flussdiagramm — Welche Methode verwende ich?

1. Zählen, was gegeben ist.
2. Wenn alle 3 Seiten sind → SSS
3. Wenn 2 Seiten + 1 Winkel:
   • Winkel liegt zwischen den beiden Seiten → SAS
   • Winkel liegt gegenüber einer der Seiten (nicht dazwischen) → SSA (auf Zweideutigkeit prüfen)
4. Wenn 2 Winkel + 1 Seite:
   • Seite liegt zwischen den beiden Winkeln → ASA
   • Seite liegt gegenüber einem der Winkel → AAS
5. Wenn 3 Winkel (AAA) → unendlich viele ähnliche Dreiecke, keine eindeutige Lösung. AAA definiert die Form, aber nicht die Größe; man braucht mindestens eine Seite.

Häufige Fehler

• Sinussatz verwenden, wenn Kosinussatz benötigt wird — Sinussatz erfordert, dass ein Seiten-Winkel-Paar einander gegenüberliegt. Bei SSS oder SAS muss man mit dem Kosinussatz beginnen.
• Die zweite Lösung bei SSA vergessen — immer prüfen, ob B₂ = 180° − B₁ ebenfalls A + B₂ < 180° erfüllt.
• Bogenmaß vs. Grad auf dem Taschenrechner verwechseln — alle obigen Beispiele setzen den Grad-Modus voraus. Wenn die Antwort „um den Faktor ~60 völlig falsch“ ist, befindet man sich im Bogenmaß-Modus.
• Seiten-↔-gegenüberliegende-Winkel-Zuordnungen durcheinanderbringen — Seite a liegt gegenüber Winkel A, nicht Winkel a. Ein häufiger Beschriftungsfehler bei handgezeichneten Figuren.
• Denken, SSA bedeute „kein mögliches Dreieck“ — SSA scheitert nicht immer; es erfordert lediglich eine Fallprüfung. SSS, SAS, ASA, AAS sind immer eindeutig.

FAQ

Was ist der Unterschied zwischen ASA und AAS? Die Position der bekannten Seite. Bei ASA liegt die Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln; bei AAS liegt sie gegenüber einem von ihnen. Beide ergeben immer ein eindeutiges Dreieck, aber die Formelreihenfolge unterscheidet sich leicht (bei AAS findet man zuerst den dritten Winkel über 180° − Summe und wendet dann den Sinussatz an).

Warum gibt es kein „SSS L