La fórmula de distancia y la fórmula del punto medio son dos de los resultados más utilizados en geometría de coordenadas. Tomando dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), te dan instantáneamente (a) qué tan lejos están, y (b) el centro exacto del segmento que los conecta. Esta guía deriva ambas desde cero, muestra ejemplos resueltos y se extiende a 3D.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Es literalmente el teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) aplicado a coordenadas. Toma dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):
Eso es todo. Memoriza el teorema de Pitágoras y has memorizado la fórmula de distancia. El cuadrado también significa que el orden de la resta no importa (negativo al cuadrado = positivo).
El punto medio es el promedio de los dos extremos — coordenada por coordenada. La x del medio es el promedio de los dos valores x; la y del medio es el promedio de los dos valores y:
Eso es lo mismo que tomar la media aritmética de dos números — aplicada por separado a x e y.
Distancia: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Punto medio: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)
Distancia: d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
Punto medio: M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)
Mismo y significa y₂ − y₁ = 0:
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 (solo |x₂ − x₁|)
M = (6.5, 7)
"El punto medio del segmento es (4, 6) y un extremo es (1, 2). Encuentra el otro."
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
Extremo opuesto: (7, 10)
Vértices A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464). Encuentra los tres lados:
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
Todos los tres = 4 ✓ → triángulo equilátero.
Para puntos en 3D (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂):
Misma idea, solo una dimensión más. Ejemplo: P(1, 2, 3) y Q(4, 6, 8). Distancia = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07; punto medio = (2.5, 4, 5.5).
Para cálculo instantáneo usa nuestra Calculadora de Distancia y Punto Medio. Para la Fórmula de Sección relacionada (dividiendo un segmento en cualquier ratio, no solo 1:1), ve nuestra Calculadora de Fórmula de Sección.
¿Están estas fórmulas en el SAT/ACT/Clase 10? Sí — ambas fórmulas son currículo central en casi todos los cursos de geometría secundaria en todo el mundo. Se prueban intensamente en el SAT Math, ACT y exámenes de junta de Clase 10 de India.
¿Qué pasa si los puntos están en coordenadas polares? Convierte a rectangulares primero: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). Luego aplica las fórmulas como arriba. Hay una fórmula de distancia polar pero es más complicada.
¿Por qué la distancia es siempre positiva? El cuadrado fuerza las diferencias a ser positivas (o cero), y la raíz cuadrada de un número no negativo es no negativa. La distancia nunca puede ser negativa — es una longitud, una magnitud.