Die Distanzformel und die Mittelpunktformel sind zwei der am häufigsten verwendeten Ergebnisse in der Koordinatengeometrie. Sie nehmen zwei Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) und geben Ihnen sofort (a) wie weit sie voneinander entfernt sind und (b) das genaue Zentrum des sie verbindenden Segments. Dieser Leitfaden leitet beide von Grund auf her, zeigt durchgearbeitete Beispiele und erweitert auf 3D.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Sie basiert wörtlich auf dem Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) angewendet auf Koordinaten. Nehmen Sie zwei Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂):
Das war's. Merken Sie sich den Satz des Pythagoras, und Sie haben die Distanzformel gemerkt. Das Quadrieren bedeutet auch, dass die Reihenfolge der Subtraktion keine Rolle spielt (negativ quadriert = positiv).
Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der beiden Endpunkte – koordinatenweise. Das x des Mittels ist der Durchschnitt der beiden x-Werte; das y des Mittels ist der Durchschnitt der beiden y-Werte:
Das ist dasselbe wie der arithmetische Mittelwert von zwei Zahlen – getrennt auf x und y angewendet.
Distanz: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Mittelpunkt: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)
Distanz: d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
Mittelpunkt: M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)
Gleiches y bedeutet y₂ − y₁ = 0:
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 (nur |x₂ − x₁|)
M = (6.5, 7)
"Mittelpunkt des Segments ist (4, 6) und ein Endpunkt ist (1, 2). Finden Sie den anderen."
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
Anderer Endpunkt: (7, 10)
Ecken A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464). Finden Sie alle drei Seiten:
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
Alle drei = 4 ✓ → gleichseitiges Dreieck.
Für 3D-Punkte (x₁, y₁, z₁) und (x₂, y₂, z₂):
Gleiche Idee, nur eine Dimension mehr. Beispiel: P(1, 2, 3) und Q(4, 6, 8). Distanz = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07; Mittelpunkt = (2.5, 4, 5.5).
Für sofortige Berechnung verwenden Sie unseren Distanz- und Mittelpunkt-Rechner. Für die verwandte Section Formula (Teilen eines Segments in jedem Verhältnis, nicht nur 1:1), siehe unseren Section Formula Rechner.
Sind diese Formeln im SAT/ACT/Klasse 10? Ja – beide Formeln sind Kernlehrplan in fast jedem Sekundärgeometrie-Kurs weltweit. Sie werden stark in SAT Math, ACT und Indiens Klasse 10-Prüfungen getestet.
Was, wenn die Punkte in Polarkoordinaten sind? Konvertieren Sie zuerst zu rechteckig: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). Dann wenden Sie die Formeln wie oben an. Es gibt eine Polardistanzformel, aber sie ist komplizierter.
Warum ist Distanz immer positiv? Das Quadrieren zwingt die Differenzen positiv (oder null) zu sein, und die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl ist nicht-negativ. Distanz kann nie negativ sein – es ist eine Länge, eine Größe.