La formule de distance et la formule du point milieu sont deux des résultats les plus utilisés en géométrie analytique. Elles prennent deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) et vous donnent instantanément (a) la distance qui les sépare, et (b) le centre exact du segment les reliant. Ce guide dérive les deux formules à partir de zéro, montre des exemples résolus et étend à la 3D.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
C'est littéralement le théorème de Pythagore (a² + b² = c²) appliqué aux coordonnées. Prenez deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) :
C'est tout. Mémorisez le théorème de Pythagore et vous avez mémorisé la formule de distance. Le fait de mettre au carré signifie aussi que l'ordre de soustraction n'a pas d'importance (négatif au carré = positif).
Le point milieu est la moyenne des deux extrémités — coordonnée par coordonnée. La coordonnée x du milieu est la moyenne des deux valeurs x ; la coordonnée y du milieu est la moyenne des deux valeurs y :
C'est la même chose que prendre la moyenne arithmétique de deux nombres — appliquée séparément à x et y.
Distance : d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Point milieu : M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)
Distance : d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
Point milieu : M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)
Même y signifie y₂ − y₁ = 0 :
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 (juste |x₂ − x₁|)
M = (6.5, 7)
"Le point milieu du segment est (4, 6) et une extrémité est (1, 2). Trouvez l'autre."
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
Autre extrémité : (7, 10)
Sommets A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464). Trouvez les trois côtés :
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
Les trois = 4 ✓ → triangle équilatéral.
Pour des points en 3D (x₁, y₁, z₁) et (x₂, y₂, z₂) :
Même idée, juste une dimension de plus. Exemple : P(1, 2, 3) et Q(4, 6, 8). Distance = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07 ; point milieu = (2.5, 4, 5.5).
Pour un calcul instantané, utilisez notre Calculateur de Distance et Point Milieu. Pour la Formule de Section liée (diviser un segment dans n'importe quel ratio, pas seulement 1:1), voir notre Calculateur de Formule de Section.
Ces formules sont-elles au SAT/ACT/Classe 10 ? Oui — les deux formules font partie du programme principal dans presque tous les cours de géométrie secondaire dans le monde. Elles sont fortement testées dans les SAT Math, ACT et les examens de classe 10 en Inde.
Que faire si les points sont en coordonnées polaires ? Convertissez d'abord en rectangulaires : x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). Puis appliquez les formules comme ci-dessus. Il existe une formule de distance polaire mais elle est plus compliquée.
Pourquoi la distance est-elle toujours positive ? La mise au carré force les différences à être positives (ou zéro), et la racine carrée d'un nombre non négatif est non négative. La distance ne peut jamais être négative — c'est une longueur, une grandeur.