A fórmula de distância e a fórmula do ponto médio são dois dos resultados mais utilizados na geometria analítica. Elas pegam dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) e instantaneamente fornecem (a) quão distantes eles estão, e (b) o centro exato do segmento que os conecta. Este guia deriva ambas do zero, mostra exemplos resolvidos e estende para 3D.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
É literalmente o teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) aplicado a coordenadas. Pegue dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂):
É isso. Memorize o teorema de Pitágoras e você memorizou a fórmula de distância. O quadrado também significa que a ordem da subtração não importa (negativo ao quadrado = positivo).
O ponto médio é a média dos dois pontos finais — coordenada por coordenada. O x do meio é a média dos dois valores de x; o y do meio é a média dos dois valores de y:
Isso é o mesmo que tomar a média aritmética de dois números — aplicada separadamente a x e y.
Distância: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ponto médio: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)
Distância: d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
Ponto médio: M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)
Mesmo y significa y₂ − y₁ = 0:
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 (apenas |x₂ − x₁|)
M = (6.5, 7)
"O ponto médio do segmento é (4, 6) e um ponto final é (1, 2). Encontre o outro."
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
Outro ponto final: (7, 10)
Vértices A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464). Encontre todos os três lados:
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
Todos os três = 4 ✓ → triângulo equilátero.
Para pontos em 3D (x₁, y₁, z₁) e (x₂, y₂, z₂):
Mesma ideia, apenas uma dimensão a mais. Exemplo: P(1, 2, 3) e Q(4, 6, 8). Distância = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07; ponto médio = (2.5, 4, 5.5).
Para cálculo instantâneo, use nossa Calculadora de Distância e Ponto Médio. Para a Fórmula da Seção relacionada (dividindo um segmento em qualquer proporção, não apenas 1:1), veja nossa Calculadora da Fórmula da Seção.
Essas fórmulas estão no SAT/ACT/Class 10? Sim — ambas as fórmulas são currículo principal em quase todos os cursos de geometria secundária no mundo. Elas são amplamente testadas na matemática do SAT, ACT e nos exames de quadro da Class 10 da Índia.
E se os pontos estiverem em coordenadas polares? Converta para retangulares primeiro: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). Depois aplique as fórmulas como acima. Há uma fórmula de distância polar, mas é mais complicada.
Por que a distância é sempre positiva? Elevar ao quadrado força as diferenças a serem positivas (ou zero), e a raiz quadrada de um número não negativo é não negativa. A distância nunca pode ser negativa — é um comprimento, uma magnitude.