Calculadora de transformación geométrica

La Calculadora de Transformaciones Geométricas aplica las cuatro transformaciones fundamentales de la geometría del plano — traslación, reflexión, rotación y homotecia — a un punto (x, y) y devuelve el punto imagen. Este tutorial explica qué hace cada transformación al punto, qué hace a una figura completa y qué transformaciones preservan qué propiedades (longitud, ángulo, orientación).

Las cuatro transformaciones en resumen

Las transformaciones que preservan la longitud y el ángulo se llaman isometrías (también llamadas transformaciones rígidas) — mueven una figura sin distorsionarla. La traslación, la reflexión y la rotación son isometrías. La homotecia no es una isometría — escala la figura hacia arriba o hacia abajo. La homotecia sí preserva los ángulos, por lo que produce una figura semejante (misma forma, diferente tamaño).

Traslación — deslizamiento sin cambios

Una traslación desliza cada punto de la figura una cantidad fija h horizontalmente y k verticalmente. La regla:

(x, y) → (x + h, y + k)

Ejemplos:

• Trasladar (3, 5) por (h, k) = (2, −1): el nuevo punto es (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4).
• Trasladar (−2, 0) por (4, 7): el nuevo punto es (2, 7).

La traslación es la transformación más simple: cada punto se mueve de la misma manera. Las figuras mantienen su tamaño, orientación y proporciones — simplemente aparecen en una nueva ubicación en el plano cartesiano. Si trasladas un triángulo, el nuevo triángulo es congruente (idéntico) al original.

Reflexión — inversión espejo

Una reflexión invierte la figura a través de una línea llamada eje de reflexión. Los ejes más comunes son el eje x, el eje y, y las líneas y = x e y = −x.

• Reflexión respecto al eje x: (x, y) → (x, −y). El signo de la coordenada y cambia.
• Reflexión respecto al eje y: (x, y) → (−x, y). El signo de la coordenada x cambia.
• Reflexión respecto a y = x: (x, y) → (y, x). Se intercambian las coordenadas.
• Reflexión respecto a y = −x: (x, y) → (−y, −x). Se intercambian y cambian los signos de ambas.

La reflexión preserva las distancias y los ángulos pero invierte la orientación — si la figura original tiene un orden horario, la figura reflejada tiene un orden antihorario (o viceversa). En geometría analítica esto es importante: un sistema de coordenadas diestro reflejado se vuelve zurdo.

Ejemplos:

• Reflejar (3, 5) respecto al eje x: (3, −5).
• Reflejar (3, 5) respecto al eje y: (−3, 5).
• Reflejar (3, 5) respecto a y = x: (5, 3).

Rotación — giro alrededor de un punto

Una rotación gira la figura alrededor de un punto fijo (el centro de rotación) por un ángulo dado. Las rotaciones más comunes son respecto al origen (0, 0) por 90°, 180° y 270°:

• Rotación 90° antihorario: (x, y) → (−y, x).
• Rotación 180°: (x, y) → (−x, −y).
• Rotación 270° antihorario (= 90° horario): (x, y) → (y, −x).

Para una rotación general por un ángulo θ respecto al origen, la fórmula usa trigonometría: (x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). Los tres casos "simples" anteriores provienen de sustituir θ = 90°, 180°, 270° (donde cos y sin son 0 y ±1).

La rotación preserva las distancias, los ángulos y la orientación — es la única isometría no trivial que lo hace. Dos figuras relacionadas por rotación son directamente congruentes (misma forma, mismo tamaño, misma quiralidad, solo giradas).

Ejemplos:

• Girar (3, 5) 90° antihorario: (−5, 3).
• Girar (3, 5) 180°: (−3, −5).
• Girar (3, 5) 270° antihorario: (5, −3).

Homotecia — escalado

Una homotecia escala la figura por un factor constante k respecto a un centro (usualmente el origen). La regla para la homotecia respecto al origen:

(x, y) → (kx, ky)

Donde:

• k > 1: ampliación (la figura crece)
• 0 < k < 1: reducción (la figura disminuye)
• k < 0: homotecia combinada con rotación de 180°
• k = 1: identidad (sin cambio)
• k = −1: igual que una rotación de 180°

La homotecia preserva los ángulos (las figuras semejantes tienen ángulos congruentes) pero no preserva las distancias. Si haces una homotecia con k = 2, cada longitud se duplica, cada área se cuadruplica (k²), y si fuera una homotecia 3D, cada volumen sería 8 veces mayor (k³).

Ejemplos:

• Homotecia de (3, 5) con k = 2: (6, 10).
• Homotecia de (3, 5) con k = 0.5: (1.5, 2.5).
• Homotecia de (3, 5) con k = −1: (−3, −5). Igual que rotación 180°.

Composición de transformaciones

Puedes aplicar transformaciones una después de otra. El orden generalmente importa:

• Trasladar luego rotar es diferente de rotar luego trasladar (porque la rotación alrededor del origen usa el origen como punto fijo — trasladar primero aleja tu figura del origen primero).
• Reflejar luego reflejar respecto a dos líneas paralelas = una traslación perpendicular a esas líneas por el doble de la distancia entre ellas.
• Reflejar luego reflejar respecto a dos líneas que se intersectan = una rotación alrededor de su punto de intersección por el doble del ángulo entre ellas.
• Una reflexión deslizante es una reflexión seguida de una traslación paralela al eje de reflexión — produce un patrón similar a huellas en la arena.

Aplicaciones en el mundo real

• Gráficos por computadora — cada videojuego 2D/3D y herramienta CAD utiliza matrices de transformación para trasladar, rotar y escalar modelos en pantalla.
• Física — los cambios de marco de referencia son transformaciones de coordenadas (galileanas para la clásica, lorentzianas para la relativista).
• Diseño de patrones — los patrones de papel tapiz, azulejos y diseño textil dependen de combinaciones sistemáticas de estas cuatro transformaciones (los 17 grupos de papel tapiz clasifican cada posible patrón 2D repetitivo).
• Simetría — una figura tiene simetría si alguna transformación no identidad la mapea sobre sí misma. Un cuadrado tiene 8 simetrías (4 rotaciones + 4 reflexiones).

Errores comunes

• Confundir antihorario (CCW) y horario (CW) para las rotaciones. En matemáticas, los ángulos de rotación se miden antihorariamente por convención. Una "rotación de 90°" significa 90° antihorario a menos que se especifique lo contrario.
• Confundir la reflexión respecto a y = x con la reflexión respecto al eje x. La primera intercambia coordenadas: (x,y) → (y,x). La segunda invierte el signo de y: (x,y) → (x,−y). Estas producen imágenes muy diferentes.
• Olvídarse de que la homotecia escala el área como k², no como k. Duplicar todas las longitudes cuadruplica el área. Muchos errores de estimación en el mundo real provienen de esto.
• Asumir que todas las transformaciones preservan la orientación. La reflexión invierte la orientación; las demás la preservan.