Calculateur de transformation géométrique

La Calculatrice de Transformations Géométriques applique les quatre transformations fondamentales de la géométrie du plan — la translation, la réflexion, la rotation et l'homothétie — à un point (x, y) et renvoie le point image. Ce tutoriel explique ce que chaque transformation fait au point, ce qu'elle fait à une forme entière, et quelles transformations préservent quelles propriétés (longueur, angle, orientation).

Les quatre transformations en bref

Les transformations qui préservent la longueur et l'angle sont appelées isométries (aussi appelées transformations rigides) — elles déplacent une forme sans la déformer. La translation, la réflexion et la rotation sont des isométries. L'homothétie n'n'est pas une isométrie — elle met la forme à l'échelle, plus grande ou plus petite. L'homothétie préserve toutefois les angles, produisant ainsi une figure semblable (même forme, taille différente).

Translation — glisser sans changer

Une translation déplace chaque point de la figure d'une quantité fixe h horizontalement et k verticalement. La règle :

(x, y) → (x + h, y + k)

Exemples :

• Traduire (3, 5) par (h, k) = (2, −1) : le nouveau point est (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4).
• Traduire (−2, 0) par (4, 7) : le nouveau point est (2, 7).

La translation est la transformation la plus simple : chaque point se déplace de la même manière. Les formes conservent leur taille, leur orientation et leurs proportions — elles apparaissent simplement à un nouvel endroit sur le plan cartésien. Si vous traduisez un triangle, le nouveau triangle est congruent (identique) à l'original.

Réflexion — retournement miroir

Une réflexion retourne la figure par rapport à une ligne appelée axe de réflexion. Les axes les plus courants sont l'axe des x, l'axe des y, et les droites y = x et y = −x.

• Réflexion par rapport à l'axe des x : (x, y) → (x, −y). Le signe de la coordonnée y change.
• Réflexion par rapport à l'axe des y : (x, y) → (−x, y). Le signe de la coordonnée x change.
• Réflexion par rapport à y = x : (x, y) → (y, x). On échange les coordonnées.
• Réflexion par rapport à y = −x : (x, y) → (−y, −x). On échange et on change le signe des deux coordonnées.

La réflexion préserve les distances et les angles mais inverse l'orientation — si la figure originale a un ordre horaire, la figure réfléchie a un ordre antihoraire (ou vice-versa). En géométrie analytique, cela a de l'importance : un système de coordonnées direct (droitier) réfléchi devient indirect (gaucher).

Exemples :

• Réfléchir (3, 5) par rapport à l'axe des x : (3, −5).
• Réfléchir (3, 5) par rapport à l'axe des y : (−3, 5).
• Réfléchir (3, 5) par rapport à y = x : (5, 3).

Rotation — tourner autour d'un point

Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe (le centre de rotation) d'un angle donné. Les rotations les plus courantes sont effectuées par rapport à l'origine (0, 0) de 90°, 180° et 270° :

• Rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (antihoraire) : (x, y) → (−y, x).
• Rotation de 180° : (x, y) → (−x, −y).
• Rotation de 270° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (= 90° horaire) : (x, y) → (y, −x).

Pour une rotation générale d'angle θ par rapport à l'origine, la formule utilise la trigonométrie : (x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). Les trois cas « simples » ci-dessus proviennent du remplacement de θ par 90°, 180°, 270° (où cos et sin valent 0 et ±1).

La rotation préserve les distances, les angles, et l'orientation — c'est la seule isométrie non triviale à le faire. Deux figures liées par une rotation sont directement congruentes (même forme, même taille, même chiralité, juste tournées).

Exemples :

• Rotater (3, 5) de 90° antihoraire : (−5, 3).
• Rotater (3, 5) de 180° : (−3, −5).
• Rotater (3, 5) de 270° antihoraire : (5, −3).

Homothétie — mise à l'échelle

Une homothétie met la figure à l'échelle selon un facteur constant k par rapport à un centre (généralement l'origine). La règle pour une homothétie centrée à l'origine :

(x, y) → (kx, ky)

Où :

• k > 1 : agrandissement (la figure devient plus grande)
• 0 < k < 1 : réduction (la figure devient plus petite)
• k < 0 : homothétie combinée à une rotation de 180°
• k = 1 : identité (aucun changement)
• k = −1 : identique à une rotation de 180°

L'homothétie préserve les angles (les figures semblables ont des angles congruents) mais ne préserve pas les distances. Si vous effectuez une homothétie avec k = 2, toutes les longueurs doublent, toutes les aires sont multipliées par quatre (k²), et s'il s'agissait d'une homothétie en 3D, tous les volumes seraient multipliés par 8 (k³).

Exemples :

• Homothétie de (3, 5) avec k = 2 : (6, 10).
• Homothétie de (3, 5) avec k = 0,5 : (1,5, 2,5).
• Homothétie de (3, 5) avec k = −1 : (−3, −5). Identique à une rotation de 180°.

Composition de transformations

Vous pouvez appliquer les transformations les unes après les autres. L'ordre compte généralement :

• Traduire puis rotater est différent de rotater puis traduire (car la rotation autour de l'origine utilise l'origine comme point fixe — traduire d'abord éloigne votre figure de l'origine).
• Réfléchir puis réfléchir par rapport à deux lignes parallèles équivaut à une translation perpendiculaire à ces lignes d'une distance égale au double de la distance entre elles.
• Réfléchir puis réfléchir par rapport à deux lignes sécantes équivaut à une rotation autour de leur point d'intersection d'un angle égal au double de l'angle entre elles.
• Une glissoire (ou réflexion translative) est une réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe de réflexion — elle produit un motif d'empreintes dans le sable.

Applications réelles

• Infographie — chaque jeu 2D/3D et outil CAO utilise des matrices de transformation pour traduire, rotater et mettre à l'échelle les modèles à l'écran.
• Physique — les changements de référentiel sont des transformations de coordonnées (galiléennes pour la physique classique, lorentziennes pour la relativité).
• Conception de motifs — les papiers peints, les carrelages et la conception textile reposent sur des combinaisons systématiques de ces quatre transformations (les 17 groupes de papier peint classifient tous les motifs 2D répétitifs possibles).
• Symétrie — une figure possède une symétrie si une transformation non identité la mappe sur elle-même. Un carré possède 8 symétries (4 rotations + 4 réflexions).

Erreurs courantes

• Mélanger le sens antihoraire (CCW) et horaire (CW) pour les rotations. En mathématiques, les angles de rotation sont mesurés dans le sens antihoraire par convention. Une « rotation de 90° » signifie 90° antihoraire sauf indication contraire.
• Confondre la réflexion par rapport à y = x avec la réflexion par rapport à l'axe des x. La première échange les coordonnées : (x,y) → (y,x). La seconde change le signe de y : (x,y) → (x,−y). Elles donnent des images très différentes.
• Oublier que l'homothétie met l'aire à l'échelle selon k², et non k. Doubler toutes les longueurs quadruple l'aire. De nombreuses erreurs d'estimation dans la vie réelle découlent de cela.
• Supposer que toutes les transformations préservent l'orientation. La réflexion inverse l'orientation ; les autres la préservent.