Calculadora de transformação geométrica

A Calculadora de Transformações Geométricas aplica as quatro transformações fundamentais da geometria plana — translação, reflexão, rotação e homotetia — a um ponto (x, y) e retorna o ponto imagem. Este tutorial explica o que cada transformação faz com o ponto, o que faz com uma figura inteira e quais transformações preservam quais propriedades (comprimento, ângulo, orientação).

As quatro transformações em resumo

As transformações que preservam comprimento e ângulo são chamadas de isometrias (também chamadas de transformações rígidas) — elas movem uma figura sem deformá-la. Translação, reflexão e rotação são isometrias. A homotetia não é uma isometria — ela aumenta ou diminui a escala da figura. A homotetia preserva os ângulos, portanto produz uma figura semelhante (mesma forma, tamanho diferente).

Translação — deslizar sem alterar

Uma translação desloca cada ponto da figura por uma quantidade fixa h horizontalmente e k verticalmente. A regra:

(x, y) → (x + h, y + k)

Exemplos:

• Transladar (3, 5) por (h, k) = (2, −1): o novo ponto é (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4).
• Transladar (−2, 0) por (4, 7): o novo ponto é (2, 7).

A translação é a transformação mais simples: todos os pontos se movem da mesma maneira. As figuras mantêm seu tamanho, orientação e proporções — elas apenas aparecem em uma nova localização no plano cartesiano. Se você transladar um triângulo, o novo triângulo será congruente (idêntico) ao original.

Reflexão — espelhamento

Uma reflexão inverte a figura através de uma linha chamada eixo de reflexão. Os eixos mais comuns são o eixo x, o eixo y e as linhas y = x e y = −x.

• Reflexão em relação ao eixo x: (x, y) → (x, −y). O sinal da coordenada y é invertido.
• Reflexão em relação ao eixo y: (x, y) → (−x, y). O sinal da coordenada x é invertido.
• Reflexão em relação a y = x: (x, y) → (y, x). Troque as coordenadas.
• Reflexão em relação a y = −x: (x, y) → (−y, −x). Troque e negue ambas.

A reflexão preserva distâncias e ângulos, mas inverte a orientação — se a figura original tiver uma ordem horária, a figura refletida terá ordem anti-horária (ou vice-versa). Na geometria analítica, isso é importante: um sistema de coordenadas destro, quando refletido, torna-se sinistro.

Exemplos:

• Refletir (3, 5) em relação ao eixo x: (3, −5).
• Refletir (3, 5) em relação ao eixo y: (−3, 5).
• Refletir (3, 5) em relação a y = x: (5, 3).

Rotação — girar em torno de um ponto

Uma rotação gira a figura em torno de um ponto fixo (o centro de rotação) por um ângulo dado. As rotações mais comuns são em torno da origem (0, 0) por 90°, 180° e 270°:

• Rotação de 90° anti-horária: (x, y) → (−y, x).
• Rotação de 180°: (x, y) → (−x, −y).
• Rotação de 270° anti-horária (= 90° horária): (x, y) → (y, −x).

Para uma rotação geral por um ângulo θ em torno da origem, a fórmula usa trigonometria: (x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). Os três casos "simples" acima vêm de substituir θ = 90°, 180°, 270° (onde cos e sin são 0 e ±1).

A rotação preserva distâncias, ângulos e orientação — é a única isometria não trivial que o faz. Duas figuras relacionadas por rotação são diretamente congruentes (mesma forma, mesmo tamanho, mesma quiralidade, apenas viradas).

Exemplos:

• Girar (3, 5) por 90° anti-horário: (−5, 3).
• Girar (3, 5) por 180°: (−3, −5).
• Girar (3, 5) por 270° anti-horário: (5, −3).

Homotetia — escala

Uma homotetia escala a figura por um fator constante k em torno de um centro (geralmente a origem). A regra para homotetia em torno da origem:

(x, y) → (kx, ky)

Onde:

• k > 1: ampliação (a figura fica maior)
• 0 < k < 1: redução (a figura fica menor)
• k < 0: homotetia combinada com rotação de 180°
• k = 1: identidade (sem alteração)
• k = −1: igual a uma rotação de 180°

A homotetia preserva os ângulos (figuras semelhantes têm ângulos congruentes), mas não preserva as distâncias. Se você aplicar uma homotetia com k = 2, todo comprimento dobra, toda área quadruplica (k²) e, se fosse uma homotetia 3D, todo volume seria multiplicado por 8 × (k³).

Exemplos:

• Aplicar homotetia em (3, 5) com k = 2: (6, 10).
• Aplicar homotetia em (3, 5) com k = 0.5: (1.5, 2.5).
• Aplicar homotetia em (3, 5) com k = −1: (−3, −5). Igual à rotação de 180°.

Composição de transformações

Você pode aplicar transformações uma após a outra. A ordem geralmente importa:

• Transladar depois rotacionar é diferente de rotacionar depois transladar (porque a rotação em torno da origem usa a origem como ponto fixo — transladar primeiro afasta sua figura da origem antes da rotação).
• Refletir depois refletir em duas linhas paralelas resulta em uma translação perpendicular a essas linhas por duas vezes a distância entre elas.
• Refletir depois refletir em duas linhas concorrentes resulta em uma rotação em torno do ponto de interseção por duas vezes o ângulo entre elas.
• Uma reflexão deslizante é uma reflexão seguida de uma translação paralela ao eixo de reflexão — ela produz um padrão de pegadas na areia.

Aplicações no mundo real

• Computação gráfica — todos os jogos 2D/3D e ferramentas CAD usam matrizes de transformação para transladar, rotacionar e escalar modelos na tela.
• Física — mudanças de referenciais são transformações de coordenadas (Galileana para a clássica, Lorentziana para a relativística).
• Design de padrões — padrões de papel de parede, ladrilhos e design têxtil dependem de combinações sistemáticas dessas quatro transformações (os 17 grupos de papel de parede classificam todos os possíveis padrões 2D repetitivos).
• Simetria — uma figura possui simetria se alguma transformação não identidade a mapeia sobre si mesma. Um quadrado tem 8 simetrias (4 rotações + 4 reflexões).

Erros comuns

• Confundir anti-horário (CCW) e horário (CW) nas rotações. Em matemática, os ângulos de rotação são medidos no sentido anti-horário por convenção. Uma "rotação de 90°" significa 90° anti-horário, a menos que especificado de outra forma.
• Confundir a reflexão em relação a y = x com a reflexão em relação ao eixo x. A primeira troca as coordenadas: (x,y) → (y,x). A segunda inverte o sinal de y: (x,y) → (x,−y). Essas produzem imagens muito diferentes.
• Esquecer que a homotetia escala a área como k², não k. Dobrar todos os comprimentos quadruplica a área. Muitos erros de estimativa no mundo real decorrem disso.
• Assumir que todas as transformações preservam a orientação. A reflexão inverte a orientação; as outras preservam-na.