正八边形的面积、周长、对角线与边心距
由 [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator 审核 最后更新于 May 13, 2026
正八边形是所有边和所有内角都相等的八边形。每个内角为135°，面积、周长、对角线及边心距的公式仅需边长s。常数(1 + √2) ≈ 2.4142随处可见——这正是八边形的特殊之处。
| 名称 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 面积（边长） | A = 2 × (1 + √2) × s² |
s = 边长。数值形式：A ≈ 4.8284 · s²。仅知边长时的最简形式。 |
| 周长 | P = 8 × s |
八条等边——单位与边长相同。 |
| 长对角线（顶点到顶点） | d = s × √(4 + 2√2) |
d ≈ 2.6131 · s。八边形中最长的距离（穿过中心，顶点到顶点）。 |
| 短对角线 | d₂ = s × √(2 + √2) |
d₂ ≈ 1.8478 · s。顶点到隔一个的顶点（跳过一个顶点）。 |
| 边心距 | a = s × (1 + √2) / 2 |
a ≈ 1.2071 · s。从中心到任意边中点的垂直距离。 |
| 由边心距求面积 | A = ½ × P × a = 4 × s × a |
通用正多边形公式。等价于上述显式形式。 |
| 内角 | ∠ = (8 − 2) × 180° / 8 = 135° |
由多边形内角和公式得出。正八边形每个内角恒为135°。 |
| 外角 | ∠ext = 360° / 8 = 45° |
外角与内角互补：180° − 135° = 45°。 |
| 外接圆半径 | R = s × √(2 + √2) / 2 |
R ≈ 1.3066 · s。经过所有8个顶点的圆的半径。 |
| 内切圆半径 | r = a = s × (1 + √2) / 2 |
内切圆的半径。与边心距相同。 |