"삼각형 풀기"는 삼각형의 6가지 부분 중 단 3가지만 (세 변 + 세 각) 주어졌을 때 나머지 세 가지를 찾는 것을 의미합니다. 정확한 방법은 어느 세 가지를 가졌는지에 따라 달라집니다. 다섯 가지 명명된 경우(SSS, SAS, ASA, AAS, SSA)가 모든 풀 수 있는 조합을 다룹니다. 이 가이드는 각 경우를 필요한 공식과 풀이 예시로 안내하고, SSA가 "모호한" 이유와 처리 방법을 설명합니다.
삼각형의 여섯 부분
모든 삼각형은 6개의 측정 가능한 부분을 가집니다: 세 변(보통 a, b, c로 표기)과 세 각(A, B, C — 각 변의 반대쪽 각을 같은 문자로 표기). 적어도 한 변이 포함된 3가지만 있으면 나머지를 풀 수 있습니다. 유효한 "주어진" 조합 5가지는 아래 방법입니다.
두 가지 기본 공식
다섯 가지 방법 모두 다음 두 관계식 중 하나로 귀결됩니다:
- 코사인 법칙: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
두 변과 끼인각이 주어졌을 때 변을 구하거나, 세 변이 모두 주어졌을 때 각을 구합니다.
- 사인 법칙: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
한 변과 그 대각, 그리고 다른 각이 주어졌을 때 변을 구하거나, 두 변과 한 대각이 주어졌을 때 각을 구합니다.
방법 1 — SSS (세 변)
사용 시기: 세 변의 길이 a, b, c를 모두 알고 있을 때.
단계:
- 코사인 법칙으로 한 각을 구합니다: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) → C = arccos(…)
- 사인 법칙으로 두 번째 각을 구합니다.
- 세 번째 각 = 180° − (처음 두 각의 합).
예시: a = 5, b = 7, c = 9. 세 각을 구하시오.
- cos(C) = (25 + 49 − 81) / (2 × 5 × 7) = −7 / 70 = −0.1 → C ≈ 95.74°
- sin(A) / 5 = sin(95.74°) / 9 → sin(A) ≈ 5 × 0.9950 / 9 ≈ 0.5528 → A ≈ 33.56°
- B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°
SSS는 항상 유일한 삼각형을 결정합니다(단, 세 쌍 모두에 대해 삼각부등식 a + b > c가 성립해야 함).
방법 2 — SAS (두 변 + 끼인각)
사용 시기: 두 변과 그 사이의 각을 알고 있을 때(예: a, b, C).
단계:
- 코사인 법칙으로 알려진 각의 반대쪽 변을 구합니다: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
- 사인 법칙으로 다른 각을 구합니다.
- 세 번째 각 = 180° − 나머지 두 각의 합.
예시: a = 8, b = 10, C = 60°. c, A, B를 구하시오.
- c² = 64 + 100 − 2(8)(10) cos(60°) = 164 − 160 × 0.5 = 84 → c ≈ 9.17
- sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17 → sin(A) ≈ 8 × 0.8660 / 9.17 ≈ 0.7558 → A ≈ 49.11°
- B = 180° − 60° − 49.11° = 70.89°
SAS는 항상 유일한 삼각형을 결정합니다.
방법 3 — ASA (두 각 + 끼인변)
사용 시기: 두 각과 그 사이의 변을 알고 있을 때(예: A, B, c).
단계:
- 세 번째 각 = 180° − A − B.
- 사인 법칙으로 나머지 두 변을 구합니다.
예시: A = 50°, B = 60°, c = 12. C, a, b를 구하시오.
- C = 180° − 50° − 60° = 70°
- a / sin(50°) = 12 / sin(70°) → a = 12 × 0.766 / 0.9397 ≈ 9.78
- b / sin(60°) = 12 / sin(70°) → b = 12 × 0.866 / 0.9397 ≈ 11.06
ASA는 항상 유일한 삼각형을 결정합니다(180° 미만인 두 각의 합 + 양의 변이면 하나의 삼각형이 정의됨).
방법 4 — AAS (두 각 + 비끼인변)
사용 시기: 두 각과 그 사이가 아닌 변을 알고 있을 때(예: A, B, a).
단계: ASA와 동일 — 세 번째 각을 구한 후, 나머지 변에 사인 법칙을 적용합니다. ASA와의 유일한 차이는 알려진 변의 위치입니다(여기서는 알려진 각 중 하나의 대변).
예시: A = 45°, B = 65°, a = 7. C, b, c를 구하시오.
- C = 180° − 45° − 65° = 70°
- b / sin(65°) = 7 / sin(45°) → b = 7 × 0.9063 / 0.7071 ≈ 8.97
- c / sin(70°) = 7 / sin(45°) → c = 7 × 0.9397 / 0.7071 ≈ 9.30
방법 5 — SSA (모호한 경우)
사용 시기: 두 변과 그 중 하나의 대각을 알고 있을 때(사이가 아님 — 예: a, b, A).
"모호한" 이유: SSA는 구체적인 값에 따라 0개, 1개 또는 2개의 유효한 삼각형을 만들 수 있습니다. 유일하게 경우 검사가 필요한 경우입니다.
SSA 처리 단계:
- 사인 법칙으로 다른 알려진 변의 대각을 구합니다: sin(B) = b × sin(A) / a
- sin(B) > 1이면 → 삼각형이 존재하지 않음(주어진 변이 너무 짧아 닿지 않음).
- sin(B) = 1이면 → 정확히 하나의 직각삼각형(B = 90°).
- sin(B) < 1이면 → 두 후보: B₁ = arcsin(…), B₂ = 180° − B₁. A + B₂ < 180°이면 둘 다 유효할 수 있음.
- 각 유효한 B에 대해 ASA 방식으로 마무리: C = 180° − A − B, 그 후 사인 법칙으로 c 구하기.
예시(두 해): a = 6, b = 8, A = 35°. B, C, c를 구하시오.
- sin(B) = 8 × sin(35°) / 6 = 8 × 0.5736 / 6 ≈ 0.7648
- B₁ ≈ 49.86°, B₂ = 180° − 49.86° = 130.14°
- B₂ 검사: A + B₂ = 35° + 130.14° = 165.14° < 180° → 둘 다 유효
- 삼각형 1: C = 180° − 35° − 49.86° = 95.14°, c = 6 × sin(95.14°) / sin(35°) ≈ 10.41
- 삼각형 2: C = 180° − 35° − 130.14° = 14.86°, c = 6 × sin(14.86°) / sin(35°) ≈ 2.68
이 때문에 교과서에서 SSA에 주의하라고 경고합니다. 실제 측정 각이 포함된 문제는 모호한 영역에 빠질 수 있으며, 올바른 해를 선택하려면 기하학적 맥락(예: "가능한 가장 짧은 삼각형")이 필요합니다.
진단 흐름도 — 어떤 방법을 사용해야 할까?
- 주어진 것의 개수를 세십시오.
- 3개 모두 변이면 → SSS
- 2변 + 1각이면:
- 각이 두 변 사이에 있으면 → SAS
- 각이 한 변의 대각(사이가 아님)이면 → SSA(모호성 검사)
- 2각 + 1변이면:
- 변이 두 각 사이에 있으면 → ASA
- 변이 한 각의 대변이면 → AAS
- 3각(AAA)이면 → 무한히 많은 닮은 삼각형, 유일한 해 없음. AAA는 모양만 정의하고 크기는 정의하지 않으므로 적어도 한 변이 필요합니다.
흔한 실수
- 코사인 법칙이 필요할 때 사인 법칙 사용 — 사인 법칙은 변-각 쌍이 서로 대응해야 합니다. SSS나 SAS에서는 반드시 코사인 법칙부터 시작해야 합니다.
- SSA의 모호한 두 번째 해를 잊음 — B₂ = 180° − B₁도 A + B₂ < 180°를 만족하는지 항상 확인하십시오.
- 계산기에서 라디안과 도 혼동 — 위의 모든 예시는 도 모드를 가정합니다. 답이 "~60배 정도 크게 틀리면" 라디안 모드일 가능성이 큽니다.
- 변 ↔ 대각 짝을 혼동 — 변 a는 각 A의 대변입니다. 손으로 그린 그림에서 흔히 발생하는 표기 실수입니다.
- SSA를 "삼각형이 불가능하다"고 생각 — SSA가 항상 실패하는 것은 아닙니다. 단지 경우 검사가 필요할 뿐입니다. SSS, SAS, ASA, AAS는 항상 모호하지 않습니다.
FAQ
ASA와 AAS의 차이는? 알려진 변의 위치입니다. ASA에서는 변이 두 알려진 각 사이에 있고, AAS에서는 한 각의 대변입니다. 둘 다 항상 유일한 삼각형을 주지만, 공식 순서는 약간 다릅니다(AAS에서는 먼저 180° − 합으로 세 번째 각을 구한 후 사인 법칙을 적용).
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