La façon la plus rapide de bien maîtriser la géométrie est de mémoriser un petit ensemble de motifs qui reviennent souvent. Voici 10 raccourcis mentaux que chaque étudiant devrait avoir à portée de main. Chacun permet d'économiser 30 secondes à plusieurs minutes par problème.
Si vous voyez un triangle rectangle avec deux côtés parmi (3, 4, 5), le troisième est le côté manquant. Idem pour (5, 12, 13). Et (8, 15, 17), (7, 24, 25). Reconnaître ces triples vous évite de calculer a² + b² = c² à chaque fois.
Conseil : tout multiple fonctionne aussi. (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26) sont des triples scalés.
Si vous voyez un triangle 30-60-90, les côtés sont toujours dans le ratio 1 : √3 : 2 (petit côté : grand côté : hypoténuse). Mémorisez cela une fois, et ne calculez plus de trigonométrie pour ceux-ci.
Exemple : hypoténuse = 10. Petit côté = 5. Grand côté = 5√3 ≈ 8.66.
Un triangle rectangle isocèle. Les côtés égaux ; hypoténuse = côté × √2.
Exemple : côtés = 7. Hypothénuse = 7√2 ≈ 9.90.
Combinés au n°2, ces deux « triangles rectangles spéciaux » couvrent la plupart des problèmes d'examen impliquant des réponses exactes non décimales.
Application directe du n°3. Un carré de côté 5 a une diagonale de 5√2 ≈ 7.07.
Pour un cube, la diagonale SPATIALE (du coin au coin opposé à travers le volume) est côté × √3.
Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale :
Cela signifie qu dans toute configuration de lignes parallèles, vous n'avez besoin de connaître QU'UN angle pour connaître les 8. Utilisez cela dans les preuves pour invoquer ASA ou similitude AA — voir notre Calculateur de Lignes Parallèles et Transversales.
Pour tout triangle : chaque côté doit être INFÉRIEUR à la somme des deux autres. Donc les côtés 3, 4, 8 ne peuvent pas former un triangle (3 + 4 = 7 < 8).
Utilisez cela pour rejeter rapidement les problèmes de triangles impossibles avant d'essayer de les résoudre.
Si deux figures similaires ont un ratio linéaire de k, leurs aires sont dans le ratio k². Si vous doublez une figure (k=2), son aire quadruple (4×). Triplez-la (k=3), l'aire est 9×.
Pour les solides 3D, les ratios de volume suivent k³. Doubler toutes les dimensions d'un cube augmente le volume de 8×.
Même les triangles non rectangles. Choisissez n'importe quel côté comme base, tracez une perpendiculaire depuis le sommet opposé à ce côté, mesurez la longueur de la perpendiculaire, insérez-la. Ça marche pour les triangles obtus aussi (où vous pourriez devoir étendre la base extérieurement pour tracer la perpendiculaire).
Quand vous n'avez pas la hauteur mais avez les 3 côtés, utilisez la formule d'Héron : A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) où s = (a+b+c)/2. (Voir notre Calculateur de la Formule d'Héron.)
Un angle inscrit dans un cercle (sommet sur le cercle, côtés étant des cordes) égale exactement LA MOITIÉ de l'angle central sous-tendant le même arc.
Cas spécial : tout angle inscrit dans un demi-cercle est exactement 90°. C'est le théorème de Thalès — incroyablement utile pour prouver des angles droits dans les problèmes de cercles.
Pour tout n-gone : triangle (n=3) a 180° au total, quadrilatère (n=4) a 360°, pentagone (n=5) a 540°, hexagone (n=6) a 720°.
Pour les polygones RÉGULIERS, divisez par n pour obtenir chaque angle intérieur : hexagone régulier = 720°/6 = 120° par angle.
Bonus : SOMME des angles EXTÉRIEURS est toujours 360° indépendamment de n. Chaque angle extérieur d'un n-gone régulier = 360°/n.
| π (pi) | ≈ 3.14159 | cercle : C/d |
| √2 | ≈ 1.414 | diagonale du carré unitaire |
| √3 | ≈ 1.732 | grand côté du 30-60-90 |
| √5 | ≈ 2.236 | <td style="padding:5px 10px;border:1px sol