几何平均数计算器

两个正数 a 和 b 的几何平均数为 √(a × b)，即它们乘积的平方根。它是两个值的“乘法平均值”，与算术平均数（总和 / 数量）相对。几何平均数出现在三个重要领域：乘法增长问题（复利、缩放因子）、直角三角形射影定理（斜边上的高是斜边上两段线段的几何平均数），以及作为三项等比数列的中间项。本教程涵盖所有这些内容。

定义

对于两个正数 a 和 b：

几何平均数 = √(a × b)

注意：a 和 b 必须同为正数（或同为负数——但 √(负数 × 负数) 的结果与正数情况相同）。异号数的几何平均数在实数范围内无定义。

算术平均数与几何平均数

对于两个正数，几何平均数总是小于或等于算术平均数（AM-GM 不等式）：

√(a × b) ≤ (a + b) / 2，仅当 a = b 时取等号。

这是数学中的基础不等式之一。仅当两个数相等时取等号（例如两者均为 5：GM = √25 = 5，AM = (5+5)/2 = 5）。

例题 1 — 基本几何平均数

4 和 9 的几何平均数：GM = √(4 × 9) = √36 = 6。

对比算术平均数：AM = (4 + 9) / 2 = 6.5。GM < AM，符合预期。

注意到 4, 6, 9 构成一个公比为 6/4 = 1.5 且 9/6 = 1.5 的三项等比数列。首项和末项的几何平均数即为中间项。

直角三角形射影定理

这是几何平均数在几何学中发挥重要作用的地方。在直角顶点为 C 的直角三角形中，从 C 向斜边作高。该高将斜边分为两段——分别称为 p（与一条直角边相邻）和 q（与另一条直角边相邻）。

此时，以下三个几何平均关系同时成立：

1. 高： h = √(p × q)。斜边上的高是斜边上两段线段的几何平均数。
2. 直角边 1（长度 a）： a = √(p × c)，其中 c = p + q 为完整斜边长。该直角边是其相邻线段与整个斜边的几何平均数。
3. 直角边 2（长度 b）： b = √(q × c)。同上，适用于另一条直角边。

这三个关系构成了直角三角形射影定理，有时也称为“几何平均数定理”或“欧几里得定理”（《几何原本》第二卷命题 14）。

例题 2 — 射影定理

直角三角形 ABC，直角位于 C。从 C 到斜边 AB 的高交 AB 于点 D，将 AB 分为段 AD = 4 和 DB = 9。

高 CD = √(4 × 9) = √36 = 6。

直角边 AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7.21。（此处 c = 4 + 9 = 13。）

直角边 BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10.82。

用勾股定理验证：AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c²。✓

为什么射影定理成立？

从直角顶点所作的高形成了三个相似三角形：原始直角三角形，以及内部形成的两个较小的直角三角形。根据 AA（角角）相似准则，所有三个三角形均相似（每个三角形都共享一个直角以及原三角形的另一个角）。

相似三角形的对应边成比例。射影定理以几何平均数的形式表达了这些比例关系。

例题 3 — 等比数列的中间项

在 8 和 50 之间插入什么数可以构成三项等比数列？

中间项即为几何平均数：GM = √(8 × 50) = √400 = 20。

验证：8, 20, 50 的比率为 20/8 = 2.5 且 50/20 = 2.5。✓ 公比为 2.5 的等比数列。

n 个数的几何平均数

两数情况可推广至一般情形。对于 n 个正数 x₁, x₂, ..., xₙ：

GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) —— 即乘积的 n 次方根。

对于 3 个数：GM = ∛(x₁ × x₂ × x₃)。对于 4 个数：GM = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄)。依此类推。

几何平均数的单位与数值单位相同（而非单位的平方），这与射影定理中的几何平均数不同。

实际应用

• 复合年增长率 (CAGR)。 当年增长率不同时，“年平均增长率”是几何平均数，而非算术平均数。某股票第一年增长 20%，第二年增长 10%，其平均增长率为 √(1.2 × 1.1) ≈ 14.89%，而非 (20 + 10)/2 = 15%。
• 摄影。 两个光圈值（具有乘法性质）的“平均值”使用几何平均数。f/2.0 和 f/8.0 的几何平均值为 √(2 × 8) = f/4.0。
• 纵横比。 标准摄影和屏幕纵横比通常是常见比率的几何平均数（例如，ISO 216 纸张尺寸使用 √2 作为一致的长宽比）。
• 工程——载荷测试。 耐久性测试循环使用几何平均数来表征疲劳等级。

何时使用 GM 与 AM

常见错误

• 在需要 GM 时使用 AM。 对于乘法量（利率、增长因子），算术平均会给出错误的“平均值”。应使用 GM。
• 计算负数的几何平均数。 GM = √(a × b) 要求 a × b > 0。若符号混合，结果为虚数，在实际情境中无意义。
• 混淆射影定理的不同变体。 涉及三种不同的几何平均数（高、直角边 1、直角边 2）。请确保针对所需值使用正确的公式：求高 h 需使用两段线段；求直角边需使用一段线段和完整斜边。
• 忘记 GM ≤ AM。 这是一个有用的合理性检查——如果你的 GM 大于 AM，说明计算有误。