Calculateur de suite géométrique

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe non nul appelé raison commune (r). Exemple : 2, 6, 18, 54, ... a pour raison 3. Une suite géométrique est l'un des deux types fondamentaux de suites en algèbre (l'autre étant la suite arithmétique, qui utilise l'addition au lieu de la multiplication). Ce tutoriel couvre la formule du n-ième terme, la somme partielle, la somme infinie et la manière d'identifier et de manipuler ces suites.

La formule du n-ième terme

Si le premier terme d'une suite géométrique est a et que la raison est r, le n-ième terme est :

aₙ = a × rⁿ⁻¹

Pourquoi l'exposant est n − 1 et non n : par convention, le premier terme a pour indice n = 1, et non 0. Ainsi, a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a. a₂ = a × r¹ = a × r. a₃ = a × r². L'exposant est toujours inférieur de 1 au numéro du terme.

Exemple : dans 2, 6, 18, 54, ..., a = 2 et r = 3. Le 7ᵉ terme est a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458.

Identifier une suite géométrique

Étant donné une liste de nombres, divisez les paires consécutives. Si chaque quotient est identique, la suite est géométrique et ce quotient est la raison commune r.

• 2, 6, 18, 54, ... : 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ✓ suite géométrique avec r = 3.
• 1, 4, 9, 16, ... : 4/1 = 4, 9/4 = 2,25 ✗ PAS géométrique. (Il s'agit des carrés parfaits — différence arithmétique entre les termes mais pas entre les rapports.)
• 100, 50, 25, 12,5, ... : 50/100 = 0,5, 25/50 = 0,5, 12,5/25 = 0,5 ✓ suite géométrique avec r = 0,5.

Somme des n premiers termes (somme partielle)

L'addition des n premiers termes d'une suite géométrique possède une formule à forme fermée — vous n'avez pas besoin d'ajouter terme par terme :

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), valable lorsque r ≠ 1.

Si r = 1, chaque terme est égal à a, donc Sₙ = n × a (aucune formule n'est nécessaire).

Origine de la formule : écrivez la somme comme S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹. Multipliez les deux côtés par r : rS = ar + ar² + ... + arⁿ. Soustrayez : S − rS = a − arⁿ, donc S(1 − r) = a(1 − rⁿ), ce qui donne S = a(1 − rⁿ)/(1 − r).

Exemple : somme des 6 premiers termes de 5, 10, 20, 40, ... : a = 5, r = 2, n = 6. S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315.

Somme infinie — convergence de la série

Si |r| < 1 (la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1), les termes diminuent vers zéro et la somme infinie converge :

S∞ = a / (1 − r)

Si |r| ≥ 1, les termes ne diminuent pas et la somme diverge (croît sans borne ou oscille sans se stabiliser).

Exemple : la somme infinie 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... a pour a = 1 et r = ½, |r| < 1 ✓. S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2. Il s'agit de la série géométrique utilisée par Zénon dans son paradoxe d'« Achille et la tortue » : chaque étape couvre la moitié de la distance restante, donc un nombre infini de demi-étapes s'additionnent pour donner une distance finie.

Autre exemple : 1 + 2 + 4 + 8 + ... a pour r = 2, |r| = 2 > 1. La somme diverge vers l'infini — aucune valeur finie.

Reconnaître et manipuler les raisons négatives

Si r est négatif, les termes alternent de signe : a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

Exemple : 3, −6, 12, −24, 48, ... a pour a = 3 et r = −2.

La formule du n-ième terme et les formules de somme fonctionnent telles quelles avec une raison r négative. La somme infinie converge si |r| < 1 même pour une raison négative — par ex. : 1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3.

Moyenne géométrique — le milieu multiplicatif

La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est :

MG = √(a × b)

C'est le terme central d'une suite géométrique à 3 termes dont le premier terme est a et le dernier est b. Par exemple, la moyenne géométrique de 4 et 9 est √36 = 6 — et la suite 4, 6, 9 a une raison constante de 1,5 tout au long (6/4 = 9/6 = 1,5).

La moyenne géométrique est préférée à la moyenne arithmétique pour faire la moyenne de ratios, de taux de rendement, de facteurs de croissance et d'autres grandeurs multiplicatives. La moyenne arithmétique de « doublé » et « triplé » donne 2,5×, mais la moyenne géométrique √(2 × 3) ≈ 2,45× est celle qui correspond correctement à la capitalisation.

Exemples résolus (complets)

Exemple 1 — Trouver le 8ᵉ terme : la suite 3, 6, 12, 24, ... a pour a = 3 et r = 2. a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.

Exemple 2 — Résoudre pour r étant donnés deux termes : a₁ = 2 et a₅ = 162. Utilisez la formule a₅ = a₁ × r⁴, donc r⁴ = 162/2 = 81. Par conséquent, r = ⁴√81 = 3 (en prenant la racine positive ; techniquement, r pourrait aussi être −3 avec des termes alternant de signe, mais la valeur absolue est déterminée de manière unique).

Exemple 3 — Somme qui diverge : la série 100 + 200 + 400 + ... + (terme n) a pour a = 100 et r = 2. La somme infinie diverge car |r| = 2 > 1. Pour tout n fini, utilisez Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1).

Applications réelles

• Intérêts composés. Le solde après n périodes de composition est B = P × (1 + i)ⁿ — une suite géométrique avec a = P et r = (1 + i). La somme sur un nombre infini de périodes diverge (l'argent croît indéfiniment), seules les sommes partielles ont donc ici un sens.
• Croissance démographique. Les modèles de croissance exponentielle tels que P(t) = P₀ × eʳᵗ deviennent des suites géométriques lorsque t est mesuré par pas discrets.
• Désintégration radioactive. La décroissance par demi-vie est une suite géométrique avec r = 1/2.
• Informatique. Le doublement des tailles de tableaux, les hauteurs d'arbres binaires et la stratégie de recule géométrique (backoff) dans les protocoles réseau sont tous des suites géométriques.
• Musique. Les fréquences des notes de musique dans une échelle tempéramée forment une suite géométrique avec r = ¹²√2 ≈ 1,0595 par demi-ton.

Erreurs courantes

• Utiliser n au lieu de n − 1 dans l'exposant. Le premier terme est a × r⁰ = a, et non a × r¹. L'exposant est toujours inférieur de 1 à l'indice du terme.
• Appliquer la formule de la somme infinie lorsque |r| ≥ 1. La série diverge. Il n'existe pas de « somme infinie » finie — les sommes partielles croissent sans borne.
• Confondre les suites géométriques avec les suites arithmétiques. Une suite arithmétique ajoute un nombre fixe à chaque étape ; une suite géométrique multiplie par un nombre fixe. Ce sont des types de suites différents avec des formules différentes.
• Calculer la moyenne géométrique de nombres négatifs. MG = √(a × b) n'a de sens que lorsque a et b sont tous deux non négatifs (ou tous deux négatifs — en prenant la racine principale de leur produit). Les résultats négatifs ne sont pas définis pour la moyenne géométrique.
• Mélanger les formules de somme partielle et de somme infinie. Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) pour n fini. S∞ = a/(1 − r) pour le cas infini convergent. Elles ne sont pas interchangeables.