Geometrische-Folge-Rechner

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jeder Term durch Multiplikation des vorherigen Terms mit einer festen, von Null verschiedenen Zahl, dem gemeinsamen Quotienten (r), erhalten wird. Beispiel: 2, 6, 18, 54, ... hat den gemeinsamen Quotienten 3. Eine geometrische Folge ist einer der beiden grundlegenden Folgentypen in der Algebra (der andere ist die arithmetische Folge, die Addition statt Multiplikation verwendet). Dieses Tutorial behandelt die Formel für das n-te Glied, die Partialsumme, die unendliche Summe und wie man solche Folgen erkennt und damit arbeitet.

Die Formel für das n-te Glied

Wenn das erste Glied einer geometrischen Folge a und der gemeinsame Quotient r ist, lautet das n-te Glied:

aₙ = a × rⁿ⁻¹

Warum der Exponent n − 1 und nicht n ist: Üblicherweise hat das erste Glied den Index n = 1, nicht 0. Also ist a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a. a₂ = a × r¹ = a × r. a₃ = a × r². Der Exponent ist immer um eins kleiner als die Nummer des Glieds.

Beispiel: In 2, 6, 18, 54, ... ist a = 2 und r = 3. Das 7. Glied ist a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458.

Erkennen einer geometrischen Folge

Gegeben eine Liste von Zahlen, dividiere aufeinanderfolgende Paare. Wenn jeder Quotient gleich ist, ist die Folge geometrisch und dieser Quotient ist der gemeinsame Quotient r.

• 2, 6, 18, 54, ...: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ✓ geometrisch mit r = 3.
• 1, 4, 9, 16, ...: 4/1 = 4, 9/4 = 2.25 ✗ NICHT geometrisch. (Dies sind die perfekten Quadrate — arithmetisch auf den Differenzen, aber nicht auf den Quotienten.)
• 100, 50, 25, 12.5, ...: 50/100 = 0.5, 25/50 = 0.5, 12.5/25 = 0.5 ✓ geometrisch mit r = 0.5.

Summe der ersten n Glieder (Partialsumme)

Das Addieren der ersten n Glieder einer geometrischen Folge besitzt eine geschlossene Formel — man muss nicht gliedweise addieren:

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), gültig für r ≠ 1.

Wenn r = 1 ist, entspricht jedes Glied a, also ist Sₙ = n × a (keine Formel erforderlich).

Herkunft der Formel: Schreibe die Summe als S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹. Multipliziere beide Seiten mit r: rS = ar + ar² + ... + arⁿ. Subtrahiere: S − rS = a − arⁿ, also S(1 − r) = a(1 − rⁿ), was S = a(1 − rⁿ)/(1 − r) ergibt.

Beispiel: Summe der ersten 6 Glieder von 5, 10, 20, 40, ...: a = 5, r = 2, n = 6. S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315.

Unendliche Summe — wann konvergiert die Reihe?

Wenn |r| < 1 (der Absolutwert des gemeinsamen Quotienten ist strikt kleiner als 1), schrumpfen die Glieder gegen Null und die unendliche Summe konvergiert:

S∞ = a / (1 − r)

Wenn |r| ≥ 1 ist, schrumpfen die Glieder nicht und die Summe divergiert (wächst unbeschränkt oder oszilliert ohne sich zu stabilisieren).

Beispiel: Die unendliche Summe 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... hat a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓. S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2. Dies ist die geometrische Reihe, die Zeno in seinem Paradoxon von "Achilles und die Schildkröte" verwendete: Jeder Schritt legt die Hälfte der verbleibenden Strecke zurück, sodass eine unendliche Anzahl von halben Schritten eine endliche Distanz ergibt.

Ein weiteres Beispiel: 1 + 2 + 4 + 8 + ... hat r = 2, |r| = 2 > 1. Die Summe divergiert gegen Unendlich — kein endlicher Wert.

Erkennen und Arbeiten mit negativen Quotienten

Wenn r negativ ist, wechseln die Glieder ihr Vorzeichen: a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

Beispiel: 3, −6, 12, −24, 48, ... hat a = 3, r = −2.

Sowohl die Formel für das n-te Glied als auch die Summenformeln funktionieren mit negativem r unverändert. Die unendliche Summe konvergiert, wenn |r| < 1 gilt, auch für negatives r — z. B. 1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3.

Geometrisches Mittel — das multiplikative Zentrum

Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen a und b ist:

GM = √(a × b)

Dies ist das mittlere Glied einer geometrischen Folge mit 3 Gliedern, deren erstes Glied a und letztes Glied b ist. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel von 4 und 9 √36 = 6 — und die Folge 4, 6, 9 hat durchgehend den gemeinsamen Quotienten 1.5 (6/4 = 9/6 = 1.5).

Das geometrische Mittel wird gegenüber dem arithmetischen Mittel bevorzugt, um Verhältnisse, Renditen, Wachstumsfaktoren und andere multiplikative Größen zu mitteln. Das arithmetische Mittel von "verdoppelt" und "verdreifacht" ergibt 2.5×, aber das geometrische Mittel √(2 × 3) ≈ 2.45× ist das, was korrekt aufgezinst wird.

Gerechnete Beispiele (vollständig)

Beispiel 1 — Finde das 8. Glied: Die Folge 3, 6, 12, 24, ... hat a = 3, r = 2. a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.

Beispiel 2 — Löse nach r auf, gegeben zwei Glieder: a₁ = 2 und a₅ = 162. Verwende die Formel a₅ = a₁ × r⁴, also r⁴ = 162/2 = 81. Daher ist r = ⁴√81 = 3 (die positive Wurzel wird genommen; technisch könnte r auch −3 sein, wobei die Glieder ihr Vorzeichen wechseln, aber der Absolutwert ist eindeutig bestimmt).

Beispiel 3 — Divergente Summe: Die Reihe 100 + 200 + 400 + ... + (Glied n) hat a = 100, r = 2. Die unendliche Summe divergiert, weil |r| = 2 > 1. Für jedes endliche n verwende Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1).

Anwendungen in der Praxis

• Zinseszins. Der Kontostand nach n Verzinsungsperioden ist B = P × (1 + i)ⁿ — eine geometrische Folge mit a = P und r = (1 + i). Die Summe über unendlich viele Perioden divergiert (das Geld wächst für immer), daher sind hier nur Partialsummen sinnvoll.
• Populationswachstum. Exponentielle Wachstumsmodelle wie P(t) = P₀ × eʳᵗ werden zu geometrischen Folgen, wenn t in diskreten Schritten gemessen wird.
• Radioaktiver Zerfall. Der Zerfall über die Halbwertszeit ist eine geometrische Folge mit r = 1/2.
• Informatik. Das Verdoppeln von Array-Größen, die Höhe binärer Bäume und geometrisches Backoff in Netzwerkprotokollen sind allesamt geometrische Folgen.
• Musik. Die Frequenzen musikalischer Töne in einer temperierten Stimmung bilden eine geometrische Folge mit r = ¹²√2 ≈ 1.0595 pro Halbtonschritt.

Häufige Fehler

• Verwenden von n statt n − 1 im Exponenten. Das erste Glied ist a × r⁰ = a, nicht a × r¹. Der Exponent ist immer um eins kleiner als der Gliedindex.
• Anwenden der Formel für die unendliche Summe, wenn |r| ≥ 1. Die Reihe divergiert. Es gibt keine endliche "unendliche Summe" — Partialsummen wachsen unbeschränkt.
• Verwechslung von geometrischen und arithmetischen Folgen. Arithmetische Folgen addieren jeden Schritt einen festen Betrag; geometrische Folgen multiplizieren jeden Schritt mit einem festen Faktor. Es handelt sich um unterschiedliche Folgentypen mit unterschiedlichen Formeln.
• Berechnen des geometrischen Mittels negativer Zahlen. GM = √(a × b) macht nur Sinn, wenn sowohl a als auch b nicht-negativ sind (oder wenn beide negativ sind — die Hauptwurzel ihres Produkts wird gezogen). Negative Ergebnisse sind für das geometrische Mittel nicht definiert.
• Vertauschen der Formeln für Partialsumme und unendliche Summe. Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) für endliches n. S∞ = a/(1 − r) für den konvergierenden unendlichen Fall. Sie sind nicht austauschbar.