Calculadora de progressão geométrica

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo não nulo chamado de razão comum (r). Exemplo: 2, 6, 18, 54, ... tem razão 3. Uma progressão geométrica é um dos dois tipos fundamentais de sequências na álgebra (o outro é a progressão aritmética, que usa adição em vez de multiplicação). Este tutorial aborda a fórmula do enésimo termo, a soma parcial, a soma infinita e como identificar e trabalhar com essas sequências.

A fórmula do enésimo termo

Se o primeiro termo de uma progressão geométrica é a e a razão comum é r, o enésimo termo é:

aₙ = a × rⁿ⁻¹

Por que o expoente é n − 1 e não n: por convenção, o primeiro termo tem índice n = 1, não 0. Portanto, a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a. a₂ = a × r¹ = a × r. a₃ = a × r². O expoente é sempre um a menos que o número do termo.

Exemplo: em 2, 6, 18, 54, ..., a = 2 e r = 3. O 7º termo é a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458.

Identificando uma progressão geométrica

Dada uma lista de números, divida pares consecutivos. Se todos os quocientes forem iguais, a sequência é geométrica e esse quociente é a razão comum r.

• 2, 6, 18, 54, ...: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ✓ geométrica com r = 3.
• 1, 4, 9, 16, ...: 4/1 = 4, 9/4 = 2,25 ✗ NÃO é geométrica. (Esta é a sequência dos quadrados perfeitos — aritmética nas diferenças, mas não nas razões.)
• 100, 50, 25, 12,5, ...: 50/100 = 0,5, 25/50 = 0,5, 12,5/25 = 0,5 ✓ geométrica com r = 0,5.

Soma dos primeiros n termos (soma parcial)

A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica possui uma fórmula de forma fechada — não é necessário somar termo a termo:

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), válida quando r ≠ 1.

Se r = 1, todo termo é igual a a, então Sₙ = n × a (não há necessidade de fórmula).

De onde vem a fórmula: escreva a soma como S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹. Multiplique ambos os lados por r: rS = ar + ar² + ... + arⁿ. Subtraia: S − rS = a − arⁿ, logo S(1 − r) = a(1 − rⁿ), resultando em S = a(1 − rⁿ)/(1 − r).

Exemplo: soma dos primeiros 6 termos de 5, 10, 20, 40, ...: a = 5, r = 2, n = 6. S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315.

Soma infinita — quando a série converge

Se |r| < 1 (o valor absoluto da razão comum é estritamente menor que 1), os termos diminuem em direção a zero e a soma infinita converge:

S∞ = a / (1 − r)

Se |r| ≥ 1, os termos não diminuem e a soma diverge (cresce sem limite ou oscila sem se estabilizar).

Exemplo: a soma infinita 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... tem a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓. S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2. Esta é a série geométrica que Zeno usou em seu paradoxo de "Aquiles e a tartaruga": cada passo cobre metade da distância restante, então um número infinito de meias-passos soma uma distância finita.

Outro exemplo: 1 + 2 + 4 + 8 + ... tem r = 2, |r| = 2 > 1. A soma diverge para o infinito — não há valor finito.

Reconhecendo e trabalhando com razões negativas

Se r é negativo, os termos alternam de sinal: a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

Exemplo: 3, −6, 12, −24, 48, ... tem a = 3, r = −2.

Tanto a fórmula do enésimo termo quanto as fórmulas de soma funcionam diretamente com r negativo. A soma infinita converge se |r| < 1 mesmo para r negativo — por exemplo, 1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3.

Média geométrica — o meio multiplicativo

A média geométrica de dois números positivos a e b é:

MG = √(a × b)

Este é o termo do meio de uma PG de 3 termos com primeiro termo a e último termo b. Por exemplo, a média geométrica de 4 e 9 é √36 = 6 — e a sequência 4, 6, 9 tem razão comum 1,5 em toda parte (6/4 = 9/6 = 1,5).

A média geométrica é preferível à média aritmética para promediar razões, taxas de retorno, fatores de crescimento e outras grandezas multiplicativas. A média aritmética de "dobrado" e "triplicado" dá 2,5×, mas a média geométrica √(2 × 3) ≈ 2,45× é o que compõe corretamente.

Exercícios resolvidos (completos)

Exemplo 1 — Encontre o 8º termo: a sequência 3, 6, 12, 24, ... tem a = 3, r = 2. a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.

Exemplo 2 — Resolva para r dados dois termos: a₁ = 2 e a₅ = 162. Use a fórmula a₅ = a₁ × r⁴, então r⁴ = 162/2 = 81. Portanto r = ⁴√81 = 3 (considerando a raiz positiva; tecnicamente r também poderia ser −3 com termos alternando sinais, mas o valor absoluto é determinado unicamente).

Exemplo 3 — Soma que diverge: a série 100 + 200 + 400 + ... + (termo n) tem a = 100, r = 2. A soma infinita diverge porque |r| = 2 > 1. Para qualquer n finito, use Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1).

Aplicações no mundo real

• Juros compostos. O saldo após n períodos de capitalização é B = P × (1 + i)ⁿ — uma progressão geométrica com a = P e r = (1 + i). A soma de período infinito diverge (o dinheiro cresce para sempre), portanto apenas as somas parciais são significativas aqui.
• Crescimento populacional. Modelos de crescimento exponencial como P(t) = P₀ × eʳᵗ tornam-se progressões geométricas quando t é medido em passos discretos.
• Decaimento radioativo. O decaimento pela meia-vida é uma progressão geométrica com r = 1/2.
• Computação. Dobrar tamanhos de arrays, alturas de árvores binárias e backoff geométrico em protocolos de rede são todas progressões geométricas.
• Música. As frequências das notas musicais em uma escala temperada formam uma progressão geométrica com r = ¹²√2 ≈ 1,0595 por semitom.

Erros comuns

• Usar n em vez de n − 1 no expoente. O primeiro termo é a × r⁰ = a, não a × r¹. O expoente é sempre um a menos que o índice do termo.
• Aplicar a fórmula da soma infinita quando |r| ≥ 1. A série diverge. Não existe uma "soma infinita" finita — as somas parciais crescem sem limite.
• Confundir progressões geométricas com aritméticas. A aritmética adiciona um número fixo a cada passo; a geométrica multiplica por um número fixo. São tipos diferentes de sequências com fórmulas distintas.
• Calcular a média geométrica de números negativos. MG = √(a × b) só faz sentido quando a e b são não negativos (ou quando ambos são negativos — tirando a raiz principal do produto deles). Resultados negativos não são definidos para a média geométrica.
• Misturar as fórmulas de soma parcial e soma infinita. Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) para n finito. S∞ = a/(1 − r) para o caso infinito convergente. Elas não são intercambiáveis.