Fórmula de Herón

Calcula el área de cualquier triángulo a partir de sus tres lados — sin necesidad de altura

Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última actualización May 12, 2026

Cuando conoces los tres lados de un triángulo pero ningún ángulo o altura, la fórmula de Herón da el área directamente. Calcula el semiperímetro s, luego sustitúyelo en una única raíz cuadrada. Funciona para CUALQUIER triángulo: escaleno, isósceles, equilátero, acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Las fórmulas

Nombre	Fórmula	Notas
Semiperímetro	`s = (a + b + c) / 2`	La mitad del perímetro. Calcúlalo primero, luego sustitúyelo en la fórmula del área.
Fórmula de Herón	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a, b, c son las tres longitudes de los lados. La forma clásica (Herón de Alejandría, ~60 d.C.).
Forma algebraica	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	Expansión equivalente — sin paso del semiperímetro.
Forma numéricamente estable	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	Para triángulos muy delgados donde la forma estándar pierde precisión (ordena los lados a ≥ b ≥ c primero).
Verificación de la desigualdad triangular	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	Las tres deben cumplirse; de lo contrario, no existe triángulo y el radicando se vuelve negativo.
Caso especial equilátero	`A = (√3 / 4) × a²`	Cuando a = b = c. Se deriva de Herón: s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Triángulo con lados 5, 6, 7

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
s − a = 9 − 5 = 4; s − b = 9 − 6 = 3; s − c = 9 − 7 = 2
A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 unit²

Ejemplo 2: Triángulo rectángulo 3-4-5 (verifica con ½·b·h)

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Check via legs: ½ × 3 × 4 = 6 ✓ — Heron agrees.

Ejemplo 3: Triángulo equilátero de lado 10

s = 30/2 = 15
A = √[15 × 5 × 5 × 5] = √1875 = 25√3 ≈ 43.30
Check: (√3/4) × 100 = 25√3 ≈ 43.30 ✓

Preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula de Herón?

La fórmula de Herón calcula el área de un triángulo a partir de sus tres lados a, b, c sin necesidad de ningún ángulo o altura. Primero calcula el semiperímetro s = (a+b+c)/2, luego A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].

¿Cuándo debo usar la fórmula de Herón?

Úsala cuando conozcas los tres lados (caso LLL) pero no la altura ni un ángulo. Si también conoces un ángulo, la fórmula ½·a·b·sen(C) es más rápida. Si conoces la base y la altura, simplemente usa A = ½·b·h.

¿Funciona la fórmula de Herón para triángulos rectángulos?

Sí — funciona para cualquier triángulo. Para un triángulo rectángulo 3-4-5: s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6, que coincide con ½·3·4 = 6.

¿Qué pasa si obtengo un número negativo dentro de la raíz cuadrada?

Eso significa que tus tres lados no pueden formar un triángulo real. Verifica la desigualdad triangular: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos (a + b > c, etc.).

¿Quién inventó la fórmula de Herón?

Herón de Alejandría la demostró alrededor del año 60 d.C. en su libro Métrica. Es probable que Arquímedes la conociera antes; las demostraciones modernas usan coordenadas o la Ley de Cosenos.