Formule de Héron

Calculer l'aire de tout triangle à partir de ses trois côtés — sans hauteur

Vérifié par [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Dernière mise à jour May 12, 2026

Lorsque vous connaissez les trois côtés d'un triangle mais aucun angle ni hauteur, la formule de Héron donne directement l'aire. Calculez le demi-périmètre s, puis insérez-le dans une seule racine carrée. Elle fonctionne pour TOUT triangle — scalène, isocèle, équilatéral, acutangle, rectangle ou obtusangle.

Les formules

Nom	Formule	Notes
Demi-périmètre	`s = (a + b + c) / 2`	La moitié du périmètre. Calculez d'abord, puis insérez dans la formule de l'aire.
Formule de Héron	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a, b, c sont les trois longueurs des côtés. La forme classique (Héron d'Alexandrie, ~60 ap. J.-C.).
Forme algébrique	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	Développement équivalent — sans étape du demi-périmètre.
Forme numériquement stable	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	Pour les triangles très plats où la forme standard perd en précision (classez d'abord les côtés a ≥ b ≥ c).
Vérification de l'inégalité triangulaire	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	Les trois doivent être vérifiées ; sinon, aucun triangle n'existe et le radicande devient négatif.
Cas particulier équilatéral	`A = (√3 / 4) × a²`	Lorsque a = b = c. Découle de Héron : s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4.

Exemples résolus

Exemple 1 : Triangle de côtés 5, 6, 7

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
s − a = 9 − 5 = 4; s − b = 9 − 6 = 3; s − c = 9 − 7 = 2
A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 unit²

Exemple 2 : Triangle rectangle 3-4-5 (vérifier avec ½·b·h)

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Check via legs: ½ × 3 × 4 = 6 ✓ — Heron agrees.

Exemple 3 : Triangle équilatéral de côté 10

s = 30/2 = 15
A = √[15 × 5 × 5 × 5] = √1875 = 25√3 ≈ 43.30
Check: (√3/4) × 100 = 25√3 ≈ 43.30 ✓

Questions fréquemment posées

Quelle est la formule de Héron ?

La formule de Héron calcule l'aire d'un triangle à partir de ses trois longueurs de côtés a, b, c sans avoir besoin d'angle ni de hauteur. Calculez d'abord le demi-périmètre s = (a+b+c)/2, puis A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].

Quand dois-je utiliser la formule de Héron ?

Utilisez-la lorsque vous connaissez les trois côtés (cas SSS) mais aucune hauteur ni angle. Si vous connaissez aussi un angle, la formule ½·a·b·sin(C) est plus rapide. Si vous connaissez la base et la hauteur, utilisez simplement A = ½·b·h.

La formule de Héron fonctionne-t-elle pour les triangles rectangles ?

Oui — elle fonctionne pour tout triangle. Pour un triangle rectangle 3-4-5 : s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6, ce qui correspond à ½·3·4 = 6.

Que faire si j'obtiens un nombre négatif sous la racine carrée ?

Cela signifie que vos trois côtés ne peuvent pas former un triangle réel. Vérifiez l'inégalité triangulaire : chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres (a + b > c, etc.).

Qui a inventé la formule de Héron ?

Héron d'Alexandrie l'a démontrée vers 60 après J.-C. dans son livre Metrica. Archimède la connaissait probablement plus tôt ; les preuves modernes utilisent les coordonnées ou la loi des cosinus.