Fórmula de Heron

Calcular a área de qualquer triângulo a partir dos seus três lados — sem precisar da altura

Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última atualização May 12, 2026

Quando você conhece todos os três lados de um triângulo, mas nenhum ângulo ou altura, a fórmula de Heron fornece a área diretamente. Calcule o semiperímetro s e, em seguida, substitua em uma única raiz quadrada. Funciona para QUALQUER triângulo — escaleno, isósceles, equilátero, acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

As fórmulas

Nome	Fórmula	Notas
Semiperímetro	`s = (a + b + c) / 2`	Metade do perímetro. Calcule primeiro, depois substitua na fórmula da área.
Fórmula de Heron	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a, b, c são os três comprimentos dos lados. A forma clássica (Heron de Alexandria, ~60 d.C.).
Forma Algébrica	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	Expansão equivalente — sem a etapa do semiperímetro.
Forma Numericamente Estável	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	Para triângulos muito finos onde a forma padrão perde precisão (ordene os lados a ≥ b ≥ c primeiro).
Verificação da Desigualdade Triangular	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	Todas as três devem ser válidas; caso contrário, não existe triângulo e o radicando se torna negativo.
Caso Especial Equilátero	`A = (√3 / 4) × a²`	Quando a = b = c. Deriva de Heron: s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Triângulo com lados 5, 6, 7

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
s − a = 9 − 5 = 4; s − b = 9 − 6 = 3; s − c = 9 − 7 = 2
A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 unit²

Exemplo 2: Triângulo retângulo 3-4-5 (verifique com ½·b·h)

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36 = 6
Check via legs: ½ × 3 × 4 = 6 ✓ — Heron agrees.

Exemplo 3: Triângulo equilátero de lado 10

s = 30/2 = 15
A = √[15 × 5 × 5 × 5] = √1875 = 25√3 ≈ 43.30
Check: (√3/4) × 100 = 25√3 ≈ 43.30 ✓

Perguntas frequentes

O que é a fórmula de Heron?

A fórmula de Heron calcula a área de um triângulo a partir dos comprimentos de seus três lados a, b, c sem precisar de nenhum ângulo ou altura. Primeiro calcule o semiperímetro s = (a+b+c)/2, depois A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].

Quando devo usar a fórmula de Heron?

Use-a quando você conhece os três lados (caso LLL) mas não tem altura ou ângulo. Se você também conhece um ângulo, a fórmula ½·a·b·sen(C) é mais rápida. Se você conhece base e altura, use A = ½·b·h.

A fórmula de Heron funciona para triângulos retângulos?

Sim — funciona para qualquer triângulo. Para um triângulo retângulo 3-4-5: s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6, que corresponde a ½·3·4 = 6.

E se eu obtiver um número negativo dentro da raiz quadrada?

Isso significa que seus três lados não podem formar um triângulo real. Verifique a desigualdade triangular: cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois (a + b > c, etc.).

Quem inventou a fórmula de Heron?

Heron de Alexandria a provou por volta de 60 d.C. em seu livro Metrica. Arquimedes provavelmente a conhecia antes; provas modernas usam coordenadas ou a Lei dos Cossenos.