Deux triangles sont congruents lorsqu'ils ont la même forme ET la même taille — côtés correspondants égaux, angles correspondants égaux. Il existe exactement 5 méthodes standard pour prouver la congruence, et choisir la bonne dépend de ce qui est donné. Ce guide parcourt les 5 avec des exemples résolus et des pièges courants.
Chaque méthode nomme ce qui est requis. Le motif dans chaque nom : chaque lettre est soit un "S" (un côté est donné égal) soit un "A" (un angle est donné égal).
Note ce qui manque : il n'y a pas de postulat SSA (le "théorème de l'âne" — cela ne fonctionne pas toujours car le même SSA peut convenir à deux triangles différents). Et il n'y a pas de postulat AAA non plus — des angles égaux ne prouvent que des triangles similaires, pas congruents.
Si les trois côtés d'un triangle sont égaux aux trois côtés d'un autre, les triangles sont congruents. L'ordre compte lors de l'appariement : le côté le plus long dans l'un doit égaler le plus long dans l'autre, etc.
Exemple. Le triangle ABC a AB = 5, BC = 7, CA = 6. Le triangle DEF a DE = 5, EF = 7, FD = 6. Par SSS, △ABC ≅ △DEF.
Quand l'utiliser : lorsque vous avez les trois longueurs de côtés et aucune info sur les angles. Courant en levé topographique, dessin technique et preuves d'ingénierie de cadres rigides.
Si deux côtés et l'angle entre eux sont égaux, les triangles sont congruents. L'angle DOIT être l'inclus (entre les deux côtés donnés), sinon la preuve s'effondre.
Exemple. △ABC : AB = 8, ∠B = 50°, BC = 10. △DEF : DE = 8, ∠E = 50°, EF = 10. Par SAS (l'angle de 50° est entre les côtés de 8 et 10 dans les deux), △ABC ≅ △DEF.
Erreur courante : utiliser SSA — deux côtés et un angle NON inclus. Ce n'est PAS un postulat valide (SSA peut produire deux triangles différents, le "cas ambigu"). Vérifiez toujours que l'angle est coincé entre les deux côtés.
Si deux angles et le côté entre eux sont égaux, les triangles sont congruents. Le troisième angle est automatiquement déterminé (les angles d'un triangle somment à 180°), et les côtés restants suivent de la loi des sinus.
Exemple. △ABC : ∠A = 40°, AB = 6, ∠B = 80°. △DEF : ∠D = 40°, DE = 6, ∠E = 80°. Par ASA, △ABC ≅ △DEF.
Quand ASA apparaît dans les preuves : souvent quand des lignes parallèles donnent des angles alternes-intérieurs ou correspondants "gratuitement", et que vous avez un côté partagé/donné. C'est le postulat le plus courant dans les preuves de manuels impliquant des lignes parallèles ou transversales.
Comme ASA mais le côté n'est PAS entre les deux angles donnés. Toujours valide car une fois deux angles fixés, le troisième l'est aussi — et un seul côté verrouille alors la taille.
Exemple. △ABC : ∠A = 30°, ∠B = 70°, BC = 9. △DEF : ∠D = 30°, ∠E = 70°, EF = 9. Par AAS, △ABC ≅ △DEF.
ASA vs AAS : la seule différence est si le côté égal se trouve entre les deux angles égaux. ASA : côté inclus. AAS : côté non inclus. Les deux prouvent la congruence ; certains manuels les combinent comme "AAS/ASA".
Pour les triangles rectangles SEULEMENT. Si l'hypoténuse et une jambe d'un triangle rectangle égalent l'hypoténuse et une jambe d'un autre, les triangles sont congruents.
Exemple. Le triangle rectangle △ABC a ∠C = 90°, hypoténuse AB = 13, jambe BC = 5. Le triangle rectangle △DEF a ∠F = 90°, hypoténuse DE = 13, jambe EF = 5. Par HL, △ABC ≅ △DEF.
Pourquoi HL est spécial : c'est effectivement SSA — mais comme nous SAVONS qu'un angle est de 90°, le cas ambigu ne peut pas se produire. Le troisième côté est déterminé par le théorème de Pythagore (12 dans cet exemple), donc une fois hypoténuse + jambe correspondent, tout correspond.
Aucun de ces n'est un postulat de congruence valide :