两个三角形是全等的，当它们具有相同的形状和大小——对应边相等，对应角相等。有5种标准方法来证明全等，选择正确的方法取决于你已知的信息。本指南将通过所有5种方法，附带示例和常见陷阱进行讲解。
每种方法都指明所需的内容。每个名称中的模式：每个字母要么是“S”（给定边相等），要么是“A”（给定角相等）。
注意缺失的内容：没有SSA公设（“驴定理”——它并不总是有效，因为相同的SSA可能适合两个不同的三角形）。也没有AAA公设——相等的角仅证明三角形相似，而非全等。
如果一个三角形的所有三边等于另一个三角形的所有三边，则三角形全等。匹配时顺序很重要：一个中的最长边必须等于另一个中的最长边，依此类推。
示例. 三角形ABC有AB = 5，BC = 7，CA = 6。三角形DEF有DE = 5，EF = 7，FD = 6。根据SSS，△ABC ≅ △DEF。
何时使用它： 当你有所有三条边长而没有角信息时。常见于测量、制图和刚性框架工程证明中。
如果两条边及其之间的角相等，则三角形全等。角必须是夹角（在两条给定边之间），否则证明会失效。
示例. △ABC：AB = 8，∠B = 50°，BC = 10。△DEF：DE = 8，∠E = 50°，EF = 10。根据SAS（50°角在两条8和10边之间），△ABC ≅ △DEF。
常见错误： 使用SSA——两条边和非夹角。这不是有效公设（SSA可能产生两个不同的三角形，“模糊情况”）。始终验证角是否夹在两条边之间。
如果两个角及其之间的边相等，则三角形全等。第三个角自动确定（三角形内角和为180°），剩余边由正弦定律得出。
示例. △ABC：∠A = 40°，AB = 6，∠B = 80°。△DEF：∠D = 40°，DE = 6，∠E = 80°。根据ASA，△ABC ≅ △DEF。
ASA在证明中出现时： 通常当平行线给你提供“免费”的交替内角或对应角，并且你有一条共享/给定边。这是涉及平行线或横截线的教科书证明中最常见的公设。
类似于ASA，但边不在两个给定角之间。仍然有效，因为一旦固定两个角，第三个角也固定——然后一条边锁定大小。
示例. △ABC：∠A = 30°，∠B = 70°，BC = 9。△DEF：∠D = 30°，∠E = 70°，EF = 9。根据AAS，△ABC ≅ △DEF。
ASA vs AAS： 唯一区别是相等的边是否位于两个相等角之间。ASA：夹边。AAS：非夹边。两者均证明全等；一些教科书将它们合并为“AAS/ASA”。
仅适用于直角三角形。如果一个直角三角形的斜边和一条腿等于另一个的斜边和一条腿，则三角形全等。
示例. 直角△ABC有∠C = 90°，斜边AB = 13，腿BC = 5。直角△DEF有∠F = 90°，斜边DE = 13，腿EF = 5。根据HL，△ABC ≅ △DEF。
HL为什么特殊： 它实际上是SSA——但因为我们知道一个角是90°，模糊情况不会发生。第三边由勾股定理确定（本例中为12），因此一旦斜边 + 腿匹配，一切都匹配。
这些都不是有效全等公设：