Dois triângulos são congruentes quando têm a mesma forma E o mesmo tamanho — lados correspondentes iguais, ângulos correspondentes iguais. Existem exatamente 5 métodos padrão para provar a congruência, e escolher o certo depende do que você tem. Este guia percorre todos os 5 com exemplos resolvidos e armadilhas comuns.
Cada método nomeia o que é necessário. O padrão em cada nome: cada letra é um "L" (um lado é dado como igual) ou um "A" (um ângulo é dado como igual).
Observe o que está ausente: não há postulado SSA (o "teorema do asno" — nem sempre funciona porque o mesmo SSA pode se encaixar em dois triângulos diferentes). E também não há postulado AAA — ângulos iguais provam apenas que os triângulos são semelhantes, não congruentes.
Se todos os três lados de um triângulo forem iguais a todos os três lados de outro, os triângulos são congruentes. A ordem importa ao combinar: o lado mais longo em um deve igualar o mais longo no outro, etc.
Exemplo. O triângulo ABC tem AB = 5, BC = 7, CA = 6. O triângulo DEF tem DE = 5, EF = 7, FD = 6. Pelo SSS, △ABC ≅ △DEF.
Quando usá-lo: quando você tem todos os três comprimentos de lados e nenhuma informação de ângulo. Comum em levantamentos, projetos e provas de engenharia de estruturas rígidas.
Se dois lados e o ângulo entre eles forem iguais, os triângulos são congruentes. O ângulo DEVE ser o incluído (entre os dois lados dados), ou a prova desmorona.
Exemplo. △ABC: AB = 8, ∠B = 50°, BC = 10. △DEF: DE = 8, ∠E = 50°, EF = 10. Pelo SAS (o ângulo de 50° está entre os lados de 8 e 10 em ambos), △ABC ≅ △DEF.
Erro comum: usar SSA — dois lados e um ângulo NÃO incluído. Isso NÃO é um postulado válido (SSA pode produzir dois triângulos diferentes, o "caso ambíguo"). Sempre verifique se o ângulo está entre os dois lados.
Se dois ângulos e o lado entre eles forem iguais, os triângulos são congruentes. O terceiro ângulo é automaticamente determinado (os ângulos em um triângulo somam 180°), e os lados restantes seguem da Lei dos Senos.
Exemplo. △ABC: ∠A = 40°, AB = 6, ∠B = 80°. △DEF: ∠D = 40°, DE = 6, ∠E = 80°. Pelo ASA, △ABC ≅ △DEF.
Quando o ASA aparece em provas: frequentemente quando linhas paralelas dão ângulos alternos-interiores ou correspondentes "de graça", e você tem um lado compartilhado/dado. Este é o postulado mais comum em provas de livros didáticos que envolvem linhas paralelas ou transversais.
Como o ASA, mas o lado NÃO está entre os dois ângulos dados. Ainda válido porque, uma vez que dois ângulos estão fixos, o terceiro também está — e um único lado então fixa o tamanho.
Exemplo. △ABC: ∠A = 30°, ∠B = 70°, BC = 9. △DEF: ∠D = 30°, ∠E = 70°, EF = 9. Pelo AAS, △ABC ≅ △DEF.
ASA vs AAS: a única diferença é se o lado igual fica entre os dois ângulos iguais. ASA: lado incluído. AAS: lado não incluído. Ambos provam congruência; alguns livros didáticos os combinam como "AAS/ASA".
Apenas para triângulos retângulos. Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo forem iguais à hipotenusa e uma perna de outro, os triângulos são congruentes.
Exemplo. O triângulo retângulo △ABC tem ∠C = 90°, hipotenusa AB = 13, perna BC = 5. O triângulo retângulo △DEF tem ∠F = 90°, hipotenusa DE = 13, perna EF = 5. Pelo HL, △ABC ≅ △DEF.
Por que o HL é especial: é efetivamente SSA — mas porque sabemos que um ângulo é 90°, o caso ambíguo não pode acontecer. O terceiro lado é determinado pelo teorema de Pitágoras (12 neste exemplo), então, uma vez que hipotenusa + perna combinem, tudo combina.
Nenhum desses é um postulado de congruência válido: