Jeder Kreis hat dieselbe Handvoll benannter Teile – und fast jede Kreisformel ist lediglich eine Beziehung zwischen zwei davon. Sobald Sie den Radius, den Durchmesser, die Sehne, den Bogen, den Sektor, das Segment, die Tangente und die Sekante auf einer Figur beschriften können, folgt der Rest der Kreisgeometrie natürlich. Dieser Leitfaden geht jedes Teil einzeln mit der Formel durch, die davon abhängt.
Der Mittelpunkt ist der definierende Punkt eines Kreises – jeder Punkt auf dem Kreis ist genau die Radius-Entfernung von ihm entfernt. Der Radius (Plural: Radien) ist die am häufigsten verwendete Messgröße in Kreisformeln, weil er die einfachste ist. Alles andere, was Sie berechnen können (Fläche, Umfang, Durchmesser, Sektor, Sehnenlänge), lässt sich letztlich auf eine Formel mit r reduzieren.
Formeln, die den Radius verwenden: Fläche A = πr², Umfang C = 2πr, Durchmesser d = 2r, Gleichung eines Kreises (x − h)² + (y − k)² = r².
Der Durchmesser ist die längste Sehne in jedem Kreis – eine gerade Linie durch den Mittelpunkt, die auf beiden Seiten am Kreis endet. Seine Länge ist immer genau doppelt so groß wie der Radius: d = 2r. Wenn Sie nur den Durchmesser kennen, können Sie trotzdem alles berechnen: r = d/2, A = πd²/4, C = πd.
Eine häufige Falle für Schüler: Durchmesser und Radius in der Flächenformel zu verwechseln. Wenn Sie versehentlich d in A = πr² einsetzen, erhalten Sie ein Ergebnis, das 4× zu groß ist. Halbieren Sie immer zuerst, wenn die Figur den Durchmesser kennzeichnet.
Eine Sehne ist jedes Segment, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen. Der Durchmesser ist die spezielle Sehne, die zufällig durch den Mittelpunkt verläuft; jede andere Sehne ist kürzer als der Durchmesser.
Sehnenlängenformel: c = 2r × sin(θ/2), wobei θ der Mittelpunktswinkel ist, der die Sehne unterspannt (der Winkel zwischen den beiden Radien, die zu den Endpunkten der Sehne gezogen werden).
Beispiel: In einem Kreis mit Radius 10 hat eine Sehne, die von einem 60°-Mittelpunktswinkel unterspannt wird, die Länge c = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10. (Wenn θ = 60°, entspricht die Sehne dem Radius – das ist der Fall des gleichseitigen Dreiecks.)
Ein Bogen ist ein Stück des Umfangs. Es gibt zwei Arten:
Bogenlängenformel: L = r × θ (Bogenmaß), oder L = (θ°/360) × 2πr (Gradmaß).
Beispiel: In einem Kreis mit Radius 6 hat ein 90°-Bogen die Länge (90/360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9,42.
Ein Sektor ist der Kuchenstück-Bereich zwischen zwei Radien – begrenzt von den Radien auf zwei Seiten und einem Bogen auf der gekrümmten Seite. Denken Sie an eine Pizzastück.
Sektorflächenformel: A_s = ½ × r² × θ (Bogenmaß), oder A_s = (θ°/360) × πr² (Gradmaß).
Beispiel: Ein 45°-Sektor in einem Kreis mit Radius 8 hat die Fläche (45/360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25,13.
Ein Segment wird leicht mit einem Sektor verwechselt, ist aber ein anderer Bereich. Stellen Sie sich vor, Sie ziehen eine einzelne Sehne über einen Kreis – die Sehne teilt den Kreis in zwei Bereiche, die jeweils von der Sehne und einem Bogen begrenzt werden. Jeder Bereich ist ein Segment. (Ein Sektor hingegen wird von zwei Radien plus einem Bogen begrenzt.)
Segmentflächenformel: A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ), mit θ im Bogenmaß.
Eselsbrücke: Ein Sektor ist das, was Sie mit zwei geraden Messerschnitten vom Mittelpunkt aus schneiden würden; ein Segment ist das, was Sie mit einem geraden Schnitt quer durch schneiden würden.
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kreis gerade eben berührt – sie trifft ihn an genau einem Punkt (dem „Berührungspunkt“), ohne in das Innere einzudringen. Die wichtigste Eigenschaft:
Eine Tangente ist immer senkrecht zum Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.
Dies ist die Grundlage für Dutzende von Geometrie-Beweisaufgaben und taucht in der Analysis auf, wenn Sie die Tangente an eine Kurve finden. Wenn ein Problem „die Tangente am Punkt P“ erwähnt, zeichnen Sie sofort den Radius OP – der Winkel dort beträgt 90°.
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis an genau zwei Punkten schneidet. Stellen Sie sich das als eine Sehne vor, deren Endpunkte in beide Richtungen zu einer vollständigen Geraden verlängert wurden.
Die Beziehung, die Prüfer lieben: Wenn zwei Sekanten von einem externen Punkt P aus gezogen werden, ist das Produkt der beiden Segmente (extern × vollständig) für beide Sekanten gleich. Dies ist der Satz von der Potenz eines Punktes.
Der Umfang ist die gesamte Strecke um den Kreis – sein Perimeter. In Schulbüchern wird das Wort „Perimeter“ verwendet; in der Geometrie ist das Fachwort „Umfang“. Beide bezeichnen dieselbe Länge:
C = 2π × r = π × d
Dieses Verhältnis C/d = π (≈ 3,14159) ist für jeden Kreis identisch. Es ist die berühmteste Konstante in der Mathematik.
Stellen Sie sich einen Kreis mit Mittelpunkt O vor. Darin:
Diese Figur aus dem Gedächtnis neu zu zeichnen ist die beste Lernübung für den Kreiswortschatz. Sobald die Beschriftungen automatisch werden, sind alle Formeln nur noch Beziehungen zwischen diesen Teilen.
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