El teorema de Pitágoras — a² + b² = c² — es la ecuación individual más útil en geometría. Relaciona las dos piernas (a, b) y la hipotenusa (c) de cualquier triángulo rectángulo. Esta guía recorre 10 ejemplos resueltos en orden creciente de dificultad, desde "encontrar la hipotenusa" hasta distancias 3D aplicadas y triples pitagóricos.
En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las dos piernas:
a² + b² = c²
donde a y b son las piernas (los dos lados que forman el ángulo recto) y c es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo).
Las piernas miden 3 y 4. Encuentra la hipotenusa.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, por lo que c = 5.
Este es el famoso triángulo 3-4-5 — el triple pitagórico más pequeño.
Las piernas miden 2 y 3.
c² = 4 + 9 = 13, por lo que c = √13 ≈ 3.61.
La mayoría de los triángulos rectángulos del mundo real producen hipotenusas irracionales. Deja las respuestas como √n a menos que se pida decimalizarlas.
La hipotenusa es 13, una pierna es 5. Encuentra la otra.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, por lo que b = 12.
Este es el triple 5-12-13. Memorízalo — aparece constantemente en los libros de texto.
Una pierna es 6.5, la otra es 7.5. Encuentra la hipotenusa.
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, por lo que c ≈ 9.92.
Una escalera de 10 pies se apoya contra una pared. La base está a 6 pies de la pared. ¿Qué tan alto llega por la pared?
La escalera es la hipotenusa, la pared y el suelo son las piernas.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, por lo que h = 8 pies.
Un TV se anuncia como "55 pulgadas" (diagonal). Su ancho es 48 pulgadas. ¿Cuál es su altura?
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, por lo que h ≈ 26.85 pulgadas.
Encuentra la distancia desde (1, 2) hasta (4, 6).
Pierna horizontal = 4 − 1 = 3.
Pierna vertical = 6 − 2 = 4.
Distancia² = 3² + 4² = 25, por lo que distancia = 5.
Esta es la fórmula de distancia disfrazada — ES el teorema de Pitágoras aplicado a la geometría de coordenadas.
El triángulo ABC tiene un ángulo recto en C. AC = 5, BC = 12. El punto D está en AB de modo que CD ⊥ AB. Encuentra CD.
Primero encuentra AB usando Pitágoras: AB² = 25 + 144 = 169, por lo que AB = 13.
Ahora usa el truco de igualdad de áreas: ½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615.
Una caja rectangular tiene longitud 4, ancho 3, altura 12. Encuentra su diagonal espacial (de esquina a esquina opuesta).
Primero encuentra la diagonal del piso d: d² = 4² + 3² = 25, por lo que d = 5.
Ahora aplica Pitágoras de nuevo, con d como una pierna y la altura como la otra:
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, por lo que D = 13.
El patrón: D = √(l² + w² + h²). La caja 4-3-12 da un 13 limpio porque 3-4-5 y 5-12-13 son ambos triples que se encadenan.
Para cualquier enteros m > n > 0, las fórmulas a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² producen un triple pitagórico.
Con m = 3, n = 2: a = 5, b = 12, c = 13 → el triple (5, 12, 13).
Con m = 4, n = 1: a = 15, b = 8, c = 17 → el triple (8, 15, 17).
Los primeros 8 triples pitagóricos primitivos (a, b, c) donde gcd(a,b,c)=1: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61). Reconocer estos te ahorra ejecutar Pitágoras cada vez.
La Calculadora de Triángulos Rectángulos maneja todos estos patrones automáticamente. Para problemas de distancia 3D (como el Ejemplo 9), la Calculadora del Teorema de Pitágoras 3D encadena el teorema dos veces en un paso.