피타고라스 정리 — a² + b² = c² — 는 기하학에서 가장 유용한 단일 방정식입니다. 이는 모든 직각삼각형의 두 다리 (a, b)와 빗변 (c) 간의 관계를 나타냅니다. 이 가이드는 '빗변 찾기'부터 적용된 3D 거리와 피타고라스 삼중항까지 난이도가 점차 증가하는 10개의 풀이 예제를 안내합니다.
모든 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 다리의 제곱의 합과 같습니다:
a² + b² = c²
여기서 a와 b는 직각을 이루는 두 변(다리)이고, c는 직각의 반대편 변(빗변, 항상 가장 긴 변)입니다.
다리는 3과 4입니다. 빗변을 찾으세요.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, 따라서 c = 5.
이것은 유명한 3-4-5 삼각형 — 가장 작은 피타고라스 삼중항입니다.
다리는 2와 3입니다.
c² = 4 + 9 = 13, 따라서 c = √13 ≈ 3.61.
대부분의 실제 직각삼각형은 비이성적인 빗변을 생성합니다. 소수로 변환하라는 지시가 없으면 답을 √n으로 남겨두세요.
빗변은 13이고, 한 다리는 5입니다. 다른 다리를 찾으세요.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, 따라서 b = 12.
이것은 5-12-13 삼중항입니다. 교과서에서 자주 등장하니 외우세요.
한 다리는 6.5, 다른 다리는 7.5입니다. 빗변을 찾으세요.
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, 따라서 c ≈ 9.92.
10피트 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리 바닥이 벽에서 6피트 떨어져 있습니다. 벽을 얼마나 높이 오르나요?
사다리는 빗변이고, 벽과 바닥이 다리입니다.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, 따라서 h = 8 피트.
TV가 "55인치"(대각선)로 광고됩니다. 너비는 48인치입니다. 높이는 얼마인가요?
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, 따라서 h ≈ 26.85 인치.
(1, 2)에서 (4, 6)까지의 거리를 찾으세요.
수평 다리 = 4 − 1 = 3.
수직 다리 = 6 − 2 = 4.
거리² = 3² + 4² = 25, 따라서 거리 = 5.
이것은 변장한 거리 공식입니다 — 좌표 기하학에 적용된 피타고라스 정리입니다.
삼각형 ABC는 C에서 직각을 가집니다. AC = 5, BC = 12. 점 D는 AB 위에 있으며 CD ⊥ AB입니다. CD를 찾으세요.
먼저 피타고라스를 사용해 AB를 찾으세요: AB² = 25 + 144 = 169, 따라서 AB = 13.
이제 면적 등식 트릭을 사용하세요: ½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615.
직사각형 상자가 길이 4, 너비 3, 높이 12를 가집니다. 공간 대각선(대각 반대 모서리까지)을 찾으세요.
먼저 바닥 대각선 d를 찾으세요: d² = 4² + 3² = 25, 따라서 d = 5.
이제 d를 한 다리로, 높이를 다른 다리로 피타고라스를 다시 적용하세요:
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, 따라서 D = 13.
패턴: D = √(l² + w² + h²). 4-3-12 상자는 3-4-5와 5-12-13이 연결되는 삼중항이므로 깔끔한 13을 줍니다.
임의의 정수 m > n > 0에 대해, 공식 a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n²가 피타고라스 삼중항을 생성합니다.
m = 3, n = 2일 때: a = 5, b = 12, c = 13 → (5, 12, 13) 삼중항.
m = 4, n = 1일 때: a = 15, b = 8, c = 17 → (8, 15, 17) 삼중항.
처음 8개의 원시 피타고라스 삼중항 (a, b, c) 여기서 gcd(a,b,c)=1: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61). 이러한 것을 인식하면 매번 피타고라스를 실행할 필요가 없습니다.
직각삼각형 계산기가 이러한 모든 패턴을 자동으로 처리합니다. 3D 거리 문제(예제 9처럼)의 경우, 3D 피타고라스 정리 계산기가 한 단계에서 정리를 두 번 연결합니다.
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