Le théorème de Pythagore — a² + b² = c² — est l'équation unique la plus utile en géométrie. Il relie les deux jambes (a, b) et l'hypoténuse (c) de tout triangle rectangle. Ce guide parcourt 10 exemples résolus par ordre croissant de difficulté, du « trouver l'hypoténuse » jusqu'aux applications en distance 3D et triples pythagoriciens.
Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux jambes :
a² + b² = c²
où a et b sont les jambes (les deux côtés formant l'angle droit) et c est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long).
Les jambes sont 3 et 4. Trouver l'hypoténuse.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, so c = 5.
C'est le fameux triangle 3-4-5 — le plus petit triple pythagoricien.
Les jambes sont 2 et 3.
c² = 4 + 9 = 13, so c = √13 ≈ 3.61.
La plupart des triangles rectangles du monde réel produisent des hypoténuses irrationnelles. Laissez les réponses sous forme de √n sauf si on demande de les convertir en décimales.
L'hypoténuse est 13, une jambe est 5. Trouver l'autre.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, so b = 12.
C'est le triple 5-12-13. Mémorisez-le — il apparaît constamment dans les manuels.
Une jambe est 6.5, l'autre est 7.5. Trouver l'hypoténuse.
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, so c ≈ 9.92.
Une échelle de 10 pieds s'appuie contre un mur. La base est à 6 pieds du mur. À quelle hauteur sur le mur atteint-elle ?
L'échelle est l'hypoténuse, le mur et le sol sont les jambes.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, so h = 8 pieds.
Un téléviseur est annoncé comme « 55 pouces » (diagonale). Sa largeur est de 48 pouces. Quelle est sa hauteur ?
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, so h ≈ 26.85 pouces.
Trouver la distance de (1, 2) à (4, 6).
Jambe horizontale = 4 − 1 = 3.
Jambe verticale = 6 − 2 = 4.
Distance² = 3² + 4² = 25, so distance = 5.
C'est la formule de distance déguisée — c'est le théorème de Pythagore appliqué à la géométrie analytique.
Le triangle ABC a un angle droit en C. AC = 5, BC = 12. Le point D est sur AB tel que CD ⊥ AB. Trouver CD.
D'abord trouver AB en utilisant Pythagore : AB² = 25 + 144 = 169, so AB = 13.
Maintenant utiliser l'astuce d'égalité des aires : ½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615.
Une boîte rectangulaire a une longueur de 4, une largeur de 3, une hauteur de 12. Trouver sa diagonale spatiale (du coin au coin opposé).
D'abord trouver la diagonale du sol d : d² = 4² + 3² = 25, so d = 5.
Maintenant appliquer Pythagore à nouveau, avec d comme une jambe et la hauteur comme l'autre :
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, so D = 13.
Le motif : D = √(l² + w² + h²). La boîte 4-3-12 donne un 13 net parce que 3-4-5 et 5-12-13 sont tous deux des triples qui s'enchaînent.
Pour tout entier m > n > 0, les formules a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² produisent un triple pythagoricien.
Avec m = 3, n = 2 : a = 5, b = 12, c = 13 → le triple (5, 12, 13).
Avec m = 4, n = 1 : a = 15, b = 8, c = 17 → le triple (8, 15, 17).
Les 8 premiers triples pythagoriciens primitifs (a, b, c) où gcd(a,b,c)=1 : (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61). Reconnaître ces triples vous évite d'exécuter Pythagore à chaque fois.
Le Calculateur de Triangle Rectangle gère automatiquement toutes ces configurations. Pour les problèmes de distance 3D (comme l'Exemple 9), le Calculateur du Théorème de Pythagore en 3D enchaîne le théorème deux fois en une étape.