O teorema de Pitágoras — a² + b² = c² — é a equação única mais útil em geometria. Ele relaciona as duas pernas (a, b) e a hipotenusa (c) de qualquer triângulo retângulo. Este guia percorre 10 exemplos resolvidos em ordem crescente de dificuldade, desde "encontrar a hipotenusa" até distâncias 3D aplicadas e triplas pitagóricas.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das duas pernas:
a² + b² = c²
onde a e b são as pernas (os dois lados que formam o ângulo reto) e c é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, sempre o mais longo).
As pernas são 3 e 4. Encontre a hipotenusa.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, então c = 5.
Este é o famoso triângulo 3-4-5 — a menor tripla pitagórica.
As pernas são 2 e 3.
c² = 4 + 9 = 13, então c = √13 ≈ 3.61.
A maioria dos triângulos retângulos do mundo real produz hipotenusas irracionais. Deixe as respostas como √n, a menos que seja solicitado decimalizar.
A hipotenusa é 13, uma perna é 5. Encontre a outra.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, então b = 12.
Esta é a tripla 5-12-13. Memorize-a — ela aparece constantemente em livros didáticos.
Uma perna é 6.5, a outra é 7.5. Encontre a hipotenusa.
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, então c ≈ 9.92.
Uma escada de 10 pés se apoia contra uma parede. A base está a 6 pés da parede. Até onde ela alcança na parede?
A escada é a hipotenusa, a parede e o chão são as pernas.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, então h = 8 pés.
Uma TV é anunciada como "55 polegadas" (diagonal). Sua largura é 48 polegadas. Qual é sua altura?
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, então h ≈ 26.85 polegadas.
Encontre a distância de (1, 2) a (4, 6).
Perna horizontal = 4 − 1 = 3.
Perna vertical = 6 − 2 = 4.
Distância² = 3² + 4² = 25, então distância = 5.
Esta é a fórmula de distância disfarçada — ela É o teorema de Pitágoras aplicado à geometria de coordenadas.
O triângulo ABC tem um ângulo reto em C. AC = 5, BC = 12. O ponto D está em AB de modo que CD ⊥ AB. Encontre CD.
Primeiro encontre AB usando Pitágoras: AB² = 25 + 144 = 169, então AB = 13.
Agora use o truque de igualdade de áreas: ½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615.
Uma caixa retangular tem comprimento 4, largura 3, altura 12. Encontre sua diagonal espacial (de um canto ao oposto).
Primeiro encontre a diagonal do piso d: d² = 4² + 3² = 25, então d = 5.
Agora aplique Pitágoras novamente, com d como uma perna e altura como a outra:
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, então D = 13.
O padrão: D = √(l² + w² + h²). A caixa 4-3-12 dá um 13 limpo porque 3-4-5 e 5-12-13 são triplas que se encadeiam.
Para quaisquer inteiros m > n > 0, as fórmulas a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² produzem uma tripla pitagórica.
Com m = 3, n = 2: a = 5, b = 12, c = 13 → a tripla (5, 12, 13).
Com m = 4, n = 1: a = 15, b = 8, c = 17 → a tripla (8, 15, 17).
As primeiras 8 triplas pitagóricas primitivas (a, b, c) onde gcd(a,b,c)=1: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61). Reconhecer essas economiza você de executar Pitágoras toda vez.
A Calculadora de Triângulo Retângulo lida com todos esses padrões automaticamente. Para problemas de distância 3D (como o Exemplo 9), a Calculadora do Teorema de Pitágoras 3D encadeia o teorema duas vezes em um passo.
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