Calculadora de Triángulos Semejantes con Rectas Paralelas

El Teorema de la Proporcionalidad Básica (TPB) —también conocido como Teorema de Tales en algunos currículos— es una de las herramientas de semejanza más útiles en geometría plana. Establece: si una recta trazada paralela a uno de los lados de un triángulo intersecta a los otros dos lados en puntos distintos, entonces divide esos dos lados en la misma razón. Del TPB se derivan el criterio de semejanza AA, el Teorema de las Rectas Paralelas (extensión a múltiples líneas paralelas) y una notable familia de problemas de "medición indirecta".

Enunciado preciso del teorema

Considere el triángulo ABC. Sea la recta DE paralela al lado BC, con D sobre AB y E sobre AC.

TPB: AD / DB = AE / EC.

Los dos lados AB y AC son divididos por la recta DE en la MISMA razón. Esto es cierto independientemente de dónde se encuentre DE (siempre que sea paralela a BC y corte a los otros dos lados en puntos distintos).

Por qué es verdadero el teorema — triángulos semejantes

Trazar la recta DE paralela a BC. El triángulo más pequeño ADE se sitúa en la parte superior del triángulo más grande ABC. Debido a que DE ∥ BC, los ángulos correspondientes formados por las rectas AB y AC en los cortes paralelos son iguales:

• ∠ADE = ∠ABC (ángulos correspondientes, DE ∥ BC, secante AB)
• ∠AED = ∠ACB (ángulos correspondientes, DE ∥ BC, secante AC)

Los dos triángulos comparten el ángulo ∠A. Por lo tanto, △ADE ~ △ABC por Semejanza AA.

Los triángulos semejantes tienen lados correspondientes proporcionales: AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Se deduce el TPB: si AD/AB = AE/AC, entonces por sustracción AD/AB − AE/AC también relaciona DB/AB y EC/AC. El álgebra conduce a AD/DB = AE/EC.

Ejemplo resuelto 1 — Encontrar un segmento desconocido mediante TPB

En △ABC, la recta DE ∥ BC con D en AB y E en AC. Dados AD = 4, DB = 6, AE = 5. Hallar EC.

Por TPB: AD / DB = AE / EC
4 / 6 = 5 / EC
EC = (6 × 5) / 4 = 7.5

Entonces EC = 7.5. El total AC = AE + EC = 5 + 7.5 = 12.5.

Ejemplo resuelto 2 — Verificar que una recta es paralela

En △ABC, la recta DE tiene D en AB con AD = 3, DB = 6, y E en AC con AE = 4, EC = 8.

Verificar las razones: AD/DB = 3/6 = 0.5. AE/EC = 4/8 = 0.5. Son iguales — por lo tanto, por la recíproca del TPB, la recta DE ES paralela a BC.

La recíproca del TPB: si una recta divide proporcionalmente dos lados de un triángulo, dicha recta es paralela al tercer lado. Esta es la herramienta estándar para DEMOSTRAR la paralelismo a partir de longitudes de segmentos.

Del TPB a la semejanza AA

El TPB es el motor detrás del patrón de demostración de semejanza más utilizado en geometría:

Esta demostración de 5 pasos es la respuesta estándar a "demuestre que estos triángulos son semejantes usando líneas paralelas".

El Teorema de las Rectas Paralelas (extensión multi-línea)

Si TRES o más líneas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos que cortan en las secantes son proporcionales. Esto generaliza el TPB desde un triángulo (con un corte) hasta un conjunto de líneas paralelas (con cualquier número de cortes).

Enunciado formal: las líneas ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ son cortadas por las secantes t₁ y t₂. Sean los puntos de corte en t₁ A, B, C (en orden) y en t₂ A', B', C' (en orden). Entonces AB / BC = A'B' / B'C'.

Ejemplo resuelto 3 — Teorema de las Rectas Paralelas

Tres líneas paralelas son cruzadas por dos secantes. Los segmentos de la primera secante miden 4 (superior) y 6 (inferior). El segmento superior de la segunda secante es 3. Hallar el segmento inferior.

Por el Teorema de las Rectas Paralelas: 4/6 = 3/x → x = (6 × 3) / 4 = 4.5.

TPB en geometría analítica — la fórmula de división

El TPB también aparece en geometría analítica. Si el punto E divide el segmento AC en la razón m:n, entonces el TPB (aplicado con una línea paralela que pasa por E) proporciona la fórmula de división. La "fórmula de división" es esencialmente el TPB traducido a coordenadas x-y. Consulte la Calculadora de la Fórmula de División para la versión en coordenadas.

TPB en medición indirecta del mundo real

El método de la vara de sombra para medir la altura de un árbol es un problema de TPB. Usted y el árbol proyectan sombras bajo la misma luz solar. Los dos triángulos formados (usted + su sombra + el rayo solar; árbol + sombra del árbol + rayo solar) son semejantes por AA — y los rayos solares son paralelos (porque el sol está esencialmente en el infinito).

Por proporciones al estilo TPB: altura del árbol / sombra del árbol = su altura / su sombra. Mida los tres valores, sustitúyalos y obtenga la altura del árbol.

Errores comunes

• Confundir qué lados se dividen. El TPB divide los dos lados ADYACENTES al lado original. Si DE se traza paralela a BC, entonces DE divide a AB y AC. No a BC.
• Escribir incorrectamente la razón. La razón correcta del TPB es "superior sobre inferior para cada lado": AD/DB = AE/EC. Mezclarlos (AD/EC = DB/AE) es incorrecto.
• Aplicar el TPB a líneas no paralelas. El teorema requiere DE ∥ BC. Sin paralelismo, la división proporcional no se cumple.
• Confundir TPB con congruencia. El TPB establece SEMEJANZA (lados proporcionales), no CONGRUENCIA (lados iguales). El triángulo más pequeño ADE es semejante a ABC pero de menor tamaño.
• Oblidar que la recíproca requiere igualdad estricta de razones. Si desea demostrar que una recta es paralela mediante la recíproca del TPB, las dos razones deben ser EXACTAMENTE iguales — estar cerca pero no ser igual no demuestra paralelismo.