平行線下の相似三角形計算機

基本比例定理（BPT） — 一部の教育課程ではタレスの定理とも呼ばれます — は、平面幾何学において最も有用な相似のツールの一つです。この定理は次のように述べています：三角形の一辺に平行な直線が、他の2辺と異なる点で交わる場合、その直線は2辺を同じ比で分割する。BPTから、AA相似の設定、交錯定理（複数の平行線への拡張）、そして「間接測定」の問題の驚くべきファミリーが導かれます。

定理の厳密な表述

三角形ABCを考えます。直線DEが辺BCに平行であり、DがAB上に、EがAC上にあるとします。

BPT: AD / DB = AE / EC。

2辺ABとACは、直線DEによって同じ比で分割されます。これはDEの位置がどこにあっても成立します（BCに平行であり、他の2辺と異なる点で交わる限り）。

定理が真である理由 — 相似三角形

直線DEをBCに平行に引きます。小さな三角形ADEは、大きな三角形ABCの上部に位置します。DE ∥ BC であるため、直線ABおよびACが平行線によって形成する対応する角は等しくなります：

• ∠ADE = ∠ABC （対応する角、DE ∥ BC、横断線AB）
• ∠AED = ∠ACB （対応する角、DE ∥ BC、横断線AC）

2つの三角形は角∠Aを共有しています。したがって、△ADE ~ △ABC はAA相似により成立します。

相似三角形では、対応する辺の比が等しくなります：AD/AB = AE/AC = DE/BC。

BPTはこれに従います：もし AD/AB = AE/AC ならば、引き算により AD/AB − AE/AC は DB/AB および EC/AC に関連付けられます。代数的操作により AD/DB = AE/EC が得られます。

worked example 1 — BPTを用いた未知の線分の探索

△ABCにおいて、直線DE ∥ BC であり、DはAB上、EはAC上にあります。AD = 4、DB = 6、AE = 5 が与えられています。EC を求めてください。

BPTより：AD / DB = AE / EC
4 / 6 = 5 / EC
EC = (6 × 5) / 4 = 7.5

したがって、EC = 7.5 です。全体のAC = AE + EC = 5 + 7.5 = 12.5。

worked example 2 — 直線の平行性の検証

△ABCにおいて、直線DEはDがAB上にありAD = 3、DB = 6、EがAC上にありAE = 4、EC = 8 です。

比を確認します：AD/DB = 3/6 = 0.5。AE/EC = 4/8 = 0.5。等しい — よって、BPTの逆定理により、直線DEはBCと平行です。

BPTの逆定理：直線が三角形の2辺を比例に分割する場合、その直線は第3の辺と平行である。これは、線分の長さから平行性を証明するための標準的なツールです。

BPTからAA相似へ

BPTは、幾何学で最もよく使われる相似証明パターンの原動力です：

この5行の証明は、「平行線を用いてこれらの三角形が相似であることを証明せよ」という問いに対する標準的な回答です。

交錯定理（複数直線への拡張）

3本以上の平行線を2本の横断線が切断する場合、横断線上で切り取られる線分は比例します。これは、BPTを三角形（1つの切断）から平行線の集合（任意の数の切断）へと一般化します。

形式的な表述：直線 ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ が横断線 t₁ および t₂ によって切断されます。t₁ 上の切断点を順に A, B, C とし、t₂ 上の切断点を順に A', B', C' とします。すると、AB / BC = A'B' / B'C' が成り立ちます。

worked example 3 — 交錯定理

3本の平行線が2本の横断線によって交わっています。最初の横断線の線分は、上部が4、下部が6です。2番目の横断線の上部の線分は3です。下部の線分を求めてください。

交錯定理より：4/6 = 3/x → x = (6 × 3) / 4 = 4.5。

座標幾何学におけるBPT — 内分点の公式

BPTは座標幾何学にも現れます。点Eが線分ACを比 m:n に内分する場合、BPT（Eを通る平行線を適用）によって内分点の公式が得られます。「内分点の公式」は、本質的にBPTをx-y座標系に変換したものです。座標版については、内分点計算機をご覧ください。

現実世界の間接測定におけるBPT

木の背丈を測定するための影の棒法は、BPTの問題です。あなたと木は、同じ日光の下で影を落とします。形成される2つの三角形（あなた＋あなたの影＋太陽光線；木＋木の影＋太陽光線）はAA相似により相似であり、太陽光線は平行です（太陽は実質的に無限遠にあるため）。

BPT型の比例関係より：木の背丈 / 木の影 = あなたの背丈 / あなたの影。これら3つを測定して代入すれば、木の背丈が得られます。

よくある間違い

• どの辺が分割されるかを混同する。 BPTは、元の辺に隣接する2辺を分割します。DEがBCに平行に引かれる場合、DEはABとACを分割します。BCではありません。
• 比の書き方を誤る。 正しいBPTの比は、「各辺について上/下」です：AD/DB = AE/EC。これらを混ぜる（AD/EC = DB/AE）のは誤りです。
• 非平行線にBPTを適用する。 この定理には DE ∥ BC が必要です。平行性がない場合、比例分割は成立しません。
• BPTと合同を混同する。 BPTは相似（辺の比が等しい）を示すものであり、合同（辺の長さが等しい）を示すものではありません。小さな三角形ADEはABCと相似ですが、サイズは小さくなります。
• 逆定理には比の厳密な等価性が必要であることを忘れる。 BPTの逆定理を用いて直線の平行性を証明したい場合、2つの比は正確に等しくなければなりません。近似値ではなく、厳密な一致が必要です。