Rechner für ähnliche Dreiecke mit Parallelen

Der Satz des Thales (im Sinne der Basisparallelen) — auch bekannt als Basiswinkelsatz oder Satz über parallele Streckenabschnitte — ist eines der nützlichsten Hilfsmittel zur Ähnlichkeitsbetrachtung in der ebenen Geometrie. Er besagt: Wenn eine zu einer Seite eines Dreiecks gezogene Parallele die anderen beiden Seiten in verschiedenen Punkten schneidet, dann teilt sie diese beiden Seiten im gleichen Verhältnis. Aus dem Satz des Thales (BPT) ergeben sich das Ähnlichkeitskriterium WW (Winkel-Winkel), der Strahlensatz (Erweiterung auf mehrere Parallelen) und eine bemerkenswerte Familie von Problemen zur indirekten Messung.

Präzise Formulierung des Satzes

Betrachte das Dreieck ABC. Sei die Gerade DE parallel zur Seite BC, wobei D auf AB und E auf AC liegt.

BPT: AD / DB = AE / EC.

Die beiden Seiten AB und AC werden durch die Gerade DE im GLEICHEN Verhältnis geteilt. Dies gilt unabhängig davon, wo DE liegt (solange sie parallel zu BC ist und die anderen beiden Seiten in verschiedenen Punkten schneidet).

Begründung des Satzes — ähnliche Dreiecke

Ziehe die Gerade DE parallel zu BC. Das kleinere Dreieck ADE befindet sich oben im größeren Dreieck ABC. Da DE ∥ BC gilt, sind die entsprechenden Winkel, die von den Geraden AB und AC an den Schnittpunkten mit den Parallelen gebildet werden, gleich:

• ∠ADE = ∠ABC (entsprechende Winkel, DE ∥ BC, Transversale AB)
• ∠AED = ∠ACB (entsprechende Winkel, DE ∥ BC, Transversale AC)

Beide Dreiecke teilen den Winkel ∠A. Somit sind △ADE und △ABC nach dem Ähnlichkeitskriterium WW ähnlich.

Ähnliche Dreiecke haben proportionale entsprechende Seiten: AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Daraus folgt der BPT: Wenn AD/AB = AE/AC, dann führt die Subtraktion dazu, dass auch DB/AB und EC/AC in Beziehung stehen. Durch algebraische Umformung ergibt sich AD/DB = AE/EC.

Beispielrechnung 1 — Unbekannte Strecke mittels BPT finden

Im △ABC sei die Gerade DE ∥ BC mit D auf AB und E auf AC. Gegeben sind AD = 4, DB = 6, AE = 5. Gesucht ist EC.

Nach BPT gilt: AD / DB = AE / EC
4 / 6 = 5 / EC
EC = (6 × 5) / 4 = 7.5

Also ist EC = 7.5. Die Gesamtlänge AC beträgt AE + EC = 5 + 7.5 = 12.5.

Beispielrechnung 2 — Überprüfung, ob eine Linie parallel ist

Im △ABC hat die Gerade DE den Punkt D auf AB mit AD = 3, DB = 6 und den Punkt E auf AC mit AE = 4, EC = 8.

Überprüfe die Verhältnisse: AD/DB = 3/6 = 0.5. AE/EC = 4/8 = 0.5. Sie sind gleich — also ist die Gerade DE laut Kehrsatz des BPT PARALLEL zu BC.

Der Kehrsatz des BPT: Wenn eine Gerade zwei Seiten eines Dreiecks proportional teilt, dann ist diese Gerade parallel zur dritten Seite. Dies ist das Standardwerkzeug zum BEWEIS der Parallelität anhand von Streckenlängen.

Vom BPT zur WW-Ähnlichkeit

Der BPT ist der Motor hinter dem am häufigsten verwendeten Muster für Ähnlichkeitsbeweise in der Geometrie:

Dieser 5-Schritte-Beweis ist die Standardantwort auf die Frage: „Beweise, dass diese Dreiecke ähnlich sind, unter Verwendung paralleler Linien.“

Der Strahlensatz (Erweiterung auf mehrere Linien)

Wenn DREI oder mehr parallele Geraden von zwei Transversalen geschnitten werden, sind die von ihnen auf den Transversalen abgeschnittenen Strecken proportional. Dies verallgemeinert den BPT vom Dreieck (mit einem Schnitt) auf eine Menge paralleler Linien (mit beliebig vielen Schnitten).

Formale Aussage: Die Linien ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ werden von den Transversalen t₁ und t₂ geschnitten. Seien die Schnittpunkte auf t₁ A, B, C (in dieser Reihenfolge) und auf t₂ A', B', C' (in dieser Reihenfolge). Dann gilt AB / BC = A'B' / B'C'.

Beispielrechnung 3 — Strahlensatz

Drei parallele Linien werden von zwei Transversalen geschnitten. Die Segmente der ersten Transversalen messen 4 (oben) und 6 (unten). Das obere Segment der zweiten Transversalen misst 3. Gesucht ist das untere Segment.

Nach dem Strahlensatz gilt: 4/6 = 3/x → x = (6 × 3) / 4 = 4.5.

BPT in der Koordinatengeometrie — die Teilungsformel

Der BPT taucht auch in der Koordinatengeometrie auf. Wenn der Punkt E die Strecke AC im Verhältnis m:n teilt, liefert der BPT (angewendet mit einer Parallelen durch E) die Teilungsformel. Die „Teilungsformel“ ist im Wesentlichen der BPT, übersetzt in x-y-Koordinaten. Siehe den Rechner für die Teilungsformel für die koordinatenbasierte Version.

BPT bei indirekten Messungen in der Praxis

Die Schattenmethode zur Messung der Höhe eines Baumes ist ein BPT-Problem. Du und der Baum werfen beide Schatten im selben Sonnenlicht. Die beiden entstehenden Dreiecke (du + dein Schatten + Sonnenstrahl; Baum + Baumschatten + Sonnenstrahl) sind ähnlich nach WW — und die Sonnenstrahlen sind parallel (da sich die Sonne im Wesentlichen im Unendlichen befindet).

Nach dem Prinzip der BPT-Verhältnisse gilt: Baumhöhe / Baumschatten = Deine Körpergröße / Dein Schatten. Miss alle drei Werte, setze sie ein, und erhalte die Baumhöhe.

Häufige Fehler

• Verwechslung der geteilten Seiten. Der BPT teilt die beiden SEITEN, die der ursprünglichen Seite ANGRENZEN. Wenn DE parallel zu BC gezogen wird, teilt DE die Seiten AB und AC. Nicht BC.
• Falsche Aufschreibung des Verhältnisses. Das korrekte BPT-Verhältnis ist „oberer Abschnitt zu unterem Abschnitt für jede Seite“: AD/DB = AE/EC. Eine Vermischung (AD/EC = DB/AE) ist falsch.
• Anwendung des BPT auf nicht-parallele Linien. Der Satz erfordert DE ∥ BC. Ohne Parallelität gilt die proportionale Teilung nicht.
• Verwechslung des BPT mit Kongruenz. Der BPT stellt SIMILARITÄT (proportionale Seiten) fest, keine KONGRUENZ (gleiche Seiten). Das kleinere Dreieck ADE ist ähnlich zu ABC, aber in der Größe kleiner.
• Vergessen, dass der Kehrsatz strenge Gleichheit der Verhältnisse erfordert. Wenn du beweisen möchtest, dass eine Linie parallel ist, indem du den Kehrsatz des BPT anwendest, müssen die beiden Verhältnisse GENAU gleich sein — „fast gleich, aber nicht ganz“ beweist keine Parallelität.