Sólidos + geometria analítica 3D: cossenos diretores, retas, planos
Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última atualização May 14, 2026
Geometria 3D abrange dois tópicos relacionados nos currículos escolares padrão: (1) sólidos geométricos — volumes e áreas de superfície de cubo, cilindro, esfera, cone, pirâmide e prisma; e (2) geometria de coordenadas 3D (NCERT Classe 12 na Índia, equivalente ao A-level em outros lugares) — cossenos diretores, retas e planos no espaço 3D. Esta página reúne todas as fórmulas que você precisa para ambos, com exemplos resolvidos.
| Nome | Fórmula | Notas |
|---|---|---|
| Cubo — Volume | V = s³ |
s = comprimento da aresta. AS = 6s², diagonal d = s√3. |
| Prisma Retangular — Volume | V = l × w × h |
AS = 2(lw + lh + wh); diagonal espacial d = √(l² + w² + h²). |
| Cilindro — Volume | V = π × r² × h |
AS = 2πr(r + h); AS lateral = 2πrh. |
| Esfera — Volume | V = (4/3) × π × r³ |
AS = 4πr². Única forma com um parâmetro. |
| Cone — Volume | V = (1/3) × π × r² × h |
Exatamente 1/3 do cilindro equivalente. Geratriz l = √(r²+h²); AS = πr(r + l). |
| Pirâmide Quadrada — Volume | V = (1/3) × b² × h |
b = lado da base. 1/3 do cubo com mesma base + altura. |
| Distância em 3D | d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] |
Teorema de Pitágoras 3D. Extensão da fórmula de distância 2D. |
| Ponto Médio em 3D | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) |
Média componente a componente — exatamente a mesma ideia que em 2D. |
| Cossenos Diretores | l = cos α, m = cos β, n = cos γ |
α, β, γ = ângulos que uma reta faz com os eixos x, y, z. Identidade: l² + m² + n² = 1. |
| Razões Diretoras → Cossenos Diretores | l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(...), n = c/√(...) |
Normalize as razões diretoras (a,b,c) para obter o vetor unitário (l,m,n). |
| Reta — Forma Vetorial | ⃗r = ⃗a + λ⃗b |
⃗a = vetor posição de um ponto na reta; ⃗b = vetor diretor; λ = parâmetro (real qualquer). |
| Reta — Forma Cartesiana (Simétrica) | (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c |
(x₁,y₁,z₁) = ponto na reta; (a,b,c) = razões diretoras. |
| Plano — Forma Vetorial Normal | ⃗r · ⃗n = d |
⃗n = vetor normal; d = distância da origem. |
| Plano — Forma Cartesiana | Ax + By + Cz + D = 0 |
(A, B, C) é o vetor normal ao plano. |
| Plano — Forma Segmentária | x/a + y/b + z/c = 1 |
a, b, c = interseções nos eixos x, y, z do plano. |
| Distância de Ponto a Plano | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) |
Ponto (x₀, y₀, z₀); plano Ax+By+Cz+D=0. Análogo puramente 3D da distância de ponto a reta. |
| Ângulo Entre Duas Retas | cos θ = |⃗b₁ · ⃗b₂| / (|⃗b₁| × |⃗b₂|) |
Produto escalar dos vetores diretores, normalizado. θ ∈ [0°, 90°]. |
| Ângulo Entre Dois Planos | cos θ = |⃗n₁ · ⃗n₂| / (|⃗n₁| × |⃗n₂|) |
Produto escalar dos vetores normais. Planos paralelos → θ = 0; perpendiculares → θ = 90°. |
| Retas Reversas — Menor Distância | d = |(⃗a₂ − ⃗a₁) · (⃗b₁ × ⃗b₂)| / |⃗b₁ × ⃗b₂| |
O produto vetorial dá a direção perpendicular comum; projete o vetor de conexão sobre ele. |
Insira seus números e obtenha resultados passo a passo instantaneamente.