Una secuencia geométrica es una lista de números donde cada término es el término anterior multiplicado por un número fijo llamado la razón común (r). Una serie geométrica es la SUMA de esos términos. Las dos fórmulas que necesitas son simples, pero saber cuándo usar cada una — y cuándo la versión infinita converge — es lo que confunde a los estudiantes.
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Donde a es el primer término, r es la razón común, n es el término que quieres (1, 2, 3, ...).
Ejemplo: en 2, 6, 18, 54, ... a = 2 y r = 3, por lo que a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), válido para r ≠ 1
Si r = 1, cada término es igual a a, así que multiplica: Sₙ = n × a.
Ejemplo: suma de 5, 10, 20, 40, 80 (a = 5, r = 2, n = 5):
S₅ = 5 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 5 × (1 − 32) / (−1) = 5 × (−31) / (−1) = 155
S∞ = a / (1 − r), válido solo cuando |r| < 1
Ejemplo: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... (a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓)
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / 0.5 = 2.
Si |r| ≥ 1, los términos permanecen constantes o crecen sin límite, por lo que la suma infinita es ∞ (diverge).
| Tipo de pregunta | Usa esta fórmula |
|---|---|
| "¿Cuál es el 12º término de 3, 9, 27, ...?" | aₙ = a × rⁿ⁻¹ → a₁₂ = 3 × 3¹¹ |
| "¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos de 2, 4, 8, 16, ...?" | Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) → S₁₀ = 2(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2046 |
| "¿Qué es 0.999... como fracción?" (geométrica) | S∞ = a/(1 − r) → 0.9/(1 − 0.1) = 0.9/0.9 = 1 |
| "¿La serie 1 + 2 + 4 + 8 + ... converge?" | r = 2, |r| ≥ 1, por lo que diverge (la suma es ∞) |
a = 5, r = 15/5 = 3, n = 8.
a₈ = 5 × 3⁷ = 5 × 2187 = 10,935
a = 100, r = ½, n = 6.
S₆ = 100 × (1 − (½)⁶) / (1 − ½)
(½)⁶ = 1/64
S₆ = 100 × (63/64) / (½) = 100 × (63/64) × 2 = 196.875
a = 4, r = ⅓, |r| < 1 ✓
S∞ = 4 / (1 − ⅓) = 4 / (⅔) = 6
a₅/a₁ = r⁴ → 48/3 = r⁴ → r⁴ = 16 → r = ±2 (ambos funcionan)
Sₙ = 2(1 − 3ⁿ)/(1 − 3) = (3ⁿ − 1) ≥ 1000
3ⁿ ≥ 1001 → n × log(3) ≥ log(1001) → n ≥ log(1001)/log(3) ≈ 6.29
Por lo tanto, n = 7 términos. Verifica: S₇ = (3⁷ − 1) = 2187 − 1 = 2186 ✓
Para una forma de un clic para calcular cualquiera de estos, prueba nuestra Calculadora de Secuencia Geométrica — ingresa a, r, n y devuelve el n-ésimo término, la suma parcial y (si aplica) la suma infinita.
¿Es "serie geométrica" lo mismo que "secuencia geométrica"? La secuencia es la LISTA de términos (2, 6, 18). La serie es la SUMA de esos términos (2 + 6 + 18 = 26). Mismos números, operación diferente.
¿Por qué se llama "geométrica"? Porque la media geométrica de dos términos es igual al término entre ellos. En 2, 6, 18, el término medio 6 = √(2 × 18). Compara con la aritmética donde el término medio es el promedio.
¿Ejemplos del mundo real? Interés compuesto (cada año multiplica por 1 + tasa), pelotas rebotando (cada rebote alcanza una fracción fija de la altura anterior), decaimiento radiactivo, crecimiento poblacional. Cualquier cosa que escala por un multiplicador constante por paso.