Uma sequência geométrica é uma lista de números onde cada termo é o termo anterior multiplicado por um número fixo chamado razão comum (r). Uma série geométrica é a SOMA desses termos. As duas fórmulas que você precisa são simples, mas saber quando usar qual — e quando a versão infinita converge — é o que confunde os alunos.
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Onde a é o primeiro termo, r é a razão comum, n é o termo que você quer (1, 2, 3, ...).
Exemplo: em 2, 6, 18, 54, ... a = 2 e r = 3, então a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), válido para r ≠ 1
Se r = 1, cada termo é igual a a, então multiplique: Sₙ = n × a.
Exemplo: soma de 5, 10, 20, 40, 80 (a = 5, r = 2, n = 5):
S₅ = 5 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 5 × (1 − 32) / (−1) = 5 × (−31) / (−1) = 155
S∞ = a / (1 − r), válido apenas quando |r| < 1
Exemplo: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... (a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓)
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / 0.5 = 2.
Se |r| ≥ 1, os termos ou permanecem constantes ou crescem sem limite, então a soma infinita é ∞ (diverge).
| Tipo de pergunta | Use esta fórmula |
|---|---|
| "Qual é o 12º termo de 3, 9, 27, ...?" | aₙ = a × rⁿ⁻¹ → a₁₂ = 3 × 3¹¹ |
| "Qual é a soma dos primeiros 10 termos de 2, 4, 8, 16, ...?" | Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) → S₁₀ = 2(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2046 |
| "O que é 0.999... como fração?" (geométrica) | S∞ = a/(1 − r) → 0.9/(1 − 0.1) = 0.9/0.9 = 1 |
| "A série 1 + 2 + 4 + 8 + ... converge?" | r = 2, |r| ≥ 1, então diverge (soma é ∞) |
a = 5, r = 15/5 = 3, n = 8.
a₈ = 5 × 3⁷ = 5 × 2187 = 10,935
a = 100, r = ½, n = 6.
S₆ = 100 × (1 − (½)⁶) / (1 − ½)
(½)⁶ = 1/64
S₆ = 100 × (63/64) / (½) = 100 × (63/64) × 2 = 196.875
a = 4, r = ⅓, |r| < 1 ✓
S∞ = 4 / (1 − ⅓) = 4 / (⅔) = 6
a₅/a₁ = r⁴ → 48/3 = r⁴ → r⁴ = 16 → r = ±2 (ambos funcionam)
Sₙ = 2(1 − 3ⁿ)/(1 − 3) = (3ⁿ − 1) ≥ 1000
3ⁿ ≥ 1001 → n × log(3) ≥ log(1001) → n ≥ log(1001)/log(3) ≈ 6.29
Então n = 7 termos. Verifique: S₇ = (3⁷ − 1) = 2187 − 1 = 2186 ✓
Para uma forma de um clique para calcular qualquer uma dessas, experimente nossa Calculadora de Sequência Geométrica — insira a, r, n e ela retorna o n-ésimo termo, soma parcial e (se aplicável) a soma infinita.
"Série geométrica" é o mesmo que "sequência geométrica"? A sequência é a LISTA de termos (2, 6, 18). A série é a SOMA desses termos (2 + 6 + 18 = 26). Mesmos números, operação diferente.
Por que é chamada de "geométrica"? Porque a média geométrica de dois termos é igual ao termo entre eles. Em 2, 6, 18, o termo do meio 6 = √(2 × 18). Compare com aritmética onde o termo do meio é a média.
Exemplos do mundo real? Juros compostos (cada ano multiplica por 1 + taxa), bolas quicando (cada quique atinge uma fração fixa da altura anterior), decaimento radioativo, crescimento populacional. Qualquer coisa que escala por um multiplicador constante por passo.