기하급수는 각 항이 이전 항에 고정된 숫자, 즉 공비 (r)를 곱한 숫자들의 목록입니다. 기하급수는 이러한 항들의 합입니다. 필요한 두 공식은 간단하지만, 언제 무엇을 사용할지 — 그리고 무한 버전이 언제 수렴하는지 — 를 아는 것이 학생들을 혼란스럽게 합니다.
aₙ = a × rⁿ⁻¹
a는 첫 번째 항, r은 공비, n은 원하는 항의 번호(1, 2, 3, ...)입니다.
예: 2, 6, 18, 54, ...에서 a = 2, r = 3이므로 a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), r ≠ 1일 때 유효
r = 1이면 모든 항이 a와 같으므로, 단순히 곱하기: Sₙ = n × a.
예: 5, 10, 20, 40, 80의 합 (a = 5, r = 2, n = 5):
S₅ = 5 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 5 × (1 − 32) / (−1) = 5 × (−31) / (−1) = 155
S∞ = a / (1 − r), |r| < 1일 때만 유효
예: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... (a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓)
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / 0.5 = 2.
|r| ≥ 1이면 항들이 일정하게 유지되거나 무한히 증가하므로, 무한합은 ∞ (발산)입니다.
| 질문 유형 | 이 공식 사용 |
|---|---|
| "3, 9, 27, ...의 12번째 항은?" | aₙ = a × rⁿ⁻¹ → a₁₂ = 3 × 3¹¹ |
| "2, 4, 8, 16, ...의 처음 10개 항의 합은?" | Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) → S₁₀ = 2(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2046 |
| "0.999...를 분수로?" (기하) | S∞ = a/(1 − r) → 0.9/(1 − 0.1) = 0.9/0.9 = 1 |
| "급수 1 + 2 + 4 + 8 + ...가 수렴하나?" | r = 2, |r| ≥ 1, 따라서 발산 (합은 ∞) |
a = 5, r = 15/5 = 3, n = 8.
a₈ = 5 × 3⁷ = 5 × 2187 = 10,935
a = 100, r = ½, n = 6.
S₆ = 100 × (1 − (½)⁶) / (1 − ½)
(½)⁶ = 1/64
S₆ = 100 × (63/64) / (½) = 100 × (63/64) × 2 = 196.875
a = 4, r = ⅓, |r| < 1 ✓
S∞ = 4 / (1 − ⅓) = 4 / (⅔) = 6
a₅/a₁ = r⁴ → 48/3 = r⁴ → r⁴ = 16 → r = ±2 (둘 다 작동)
Sₙ = 2(1 − 3ⁿ)/(1 − 3) = (3ⁿ − 1) ≥ 1000
3ⁿ ≥ 1001 → n × log(3) ≥ log(1001) → n ≥ log(1001)/log(3) ≈ 6.29
따라서 n = 7 항. 확인: S₇ = (3⁷ − 1) = 2187 − 1 = 2186 ✓
이 모든 것을 한 번 클릭으로 계산하려면, 기하급수 계산기를 사용하세요 — a, r, n을 입력하면 n번째 항, 부분합, (적용 가능하다면) 무한합을 반환합니다.
"기하급수"와 "기하급"은 같은가요? 급수는 항들의 목록(2, 6, 18)입니다. 급은 그 항들의 합(2 + 6 + 18 = 26)입니다. 같은 숫자, 다른 연산.
왜 "기하"라고 부르는가요? 두 항의 기하평균이 그 사이의 항과 같기 때문입니다. 2, 6, 18에서 중간 항 6 = √(2 × 18). 등차에서 중간 항이 평균인 것과 비교하세요.
실생활 예제? 복리 이자(매년 1 + 이율을 곱함), 튀는 공(각 튕김에서 이전 높이의 고정 분수 도달), 방사성 붕괴, 인구 증가. 단계당 일정한 곱셈으로 스케일링되는 모든 것.