Une séquence géométrique est une liste de nombres où chaque terme est le terme précédent multiplié par un nombre fixe appelé le ratio commun (r). Une série géométrique est la SOMME de ces termes. Les deux formules dont vous avez besoin sont simples, mais savoir quand utiliser laquelle — et quand la version infinie converge — est ce qui pose problème aux étudiants.
aₙ = a × rⁿ⁻¹
Où a est le premier terme, r est le ratio commun, n est le terme que vous voulez (1, 2, 3, ...).
Exemple : dans 2, 6, 18, 54, ... a = 2 et r = 3, donc a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), valide pour r ≠ 1
Si r = 1, chaque terme égale a, donc multipliez simplement : Sₙ = n × a.
Exemple : somme de 5, 10, 20, 40, 80 (a = 5, r = 2, n = 5) :
S₅ = 5 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 5 × (1 − 32) / (−1) = 5 × (−31) / (−1) = 155
S∞ = a / (1 − r), valide seulement quand |r| < 1
Exemple : 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... (a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓)
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / 0.5 = 2.
Si |r| ≥ 1, les termes restent constants ou croissent sans limite, donc la somme infinie est ∞ (diverge).
| Type de question | Utilisez cette formule |
|---|---|
| "Quel est le 12e terme de 3, 9, 27, ... ?" | aₙ = a × rⁿ⁻¹ → a₁₂ = 3 × 3¹¹ |
| "Quelle est la somme des 10 premiers termes de 2, 4, 8, 16, ... ?" | Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) → S₁₀ = 2(1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2046 |
| "Quelle est 0.999... sous forme de fraction ?" (géométrique) | S∞ = a/(1 − r) → 0.9/(1 − 0.1) = 0.9/0.9 = 1 |
| "La série 1 + 2 + 4 + 8 + ... converge-t-elle ?" | r = 2, |r| ≥ 1, donc elle diverge (somme est ∞) |
a = 5, r = 15/5 = 3, n = 8.
a₈ = 5 × 3⁷ = 5 × 2187 = 10 935
a = 100, r = ½, n = 6.
S₆ = 100 × (1 − (½)⁶) / (1 − ½)
(½)⁶ = 1/64
S₆ = 100 × (63/64) / (½) = 100 × (63/64) × 2 = 196,875
a = 4, r = ⅓, |r| < 1 ✓
S∞ = 4 / (1 − ⅓) = 4 / (⅔) = 6
a₅/a₁ = r⁴ → 48/3 = r⁴ → r⁴ = 16 → r = ±2 (les deux fonctionnent)
Sₙ = 2(1 − 3ⁿ)/(1 − 3) = (3ⁿ − 1) ≥ 1000
3ⁿ ≥ 1001 → n × log(3) ≥ log(1001) → n ≥ log(1001)/log(3) ≈ 6,29
Donc n = 7 termes. Vérification : S₇ = (3⁷ − 1) = 2187 − 1 = 2186 ✓
Pour un moyen en un clic de calculer l'un de ces éléments, essayez notre Calculatrice de Séquence Géométrique — entrez a, r, n et elle retourne le nième terme, la somme partielle, et (si applicable) la somme infinie.
La "série géométrique" est-elle la même que "séquence géométrique" ? La séquence est la LISTE des termes (2, 6, 18). La série est la SOMME de ces termes (2 + 6 + 18 = 26). Même nombres, opération différente.
Pourquoi s'appelle-t-elle "géométrique" ? Parce que la moyenne géométrique de deux termes égale le terme entre eux. Dans 2, 6, 18, le terme du milieu 6 = √(2 × 18). Comparez à l'arithmétique où le terme du milieu est la moyenne.
Exemples du monde réel ? Intérêt composé (chaque année multiplie par 1 + taux), balles rebondissantes (chaque rebond atteint une fraction fixe de la hauteur précédente), désintégration radioactive, croissance de population. Tout ce qui scale par un multiplicateur constant par étape.