几何变换计算器

几何变换计算器将平面几何的四种基本变换——平移、反射、旋转和位似——应用于点 (x, y)，并返回像点。本教程将逐步介绍每种变换对点的作用、对整个图形的作用，以及哪些变换保留了哪些性质（长度、角度、方向）。

四种变换概览

保留长度和角度的变换称为等距变换（也称为刚体变换）——它们在不扭曲图形的情况下移动图形。平移、反射和旋转都是等距变换。位似不是等距变换——它将图形放大或缩小。位似确实保留角度，因此产生相似图形（形状相同，大小不同）。

平移——滑动而不改变

平移将图形的每个点水平移动固定量 h，垂直移动固定量 k。规则如下：

(x, y) → (x + h, y + k)

示例：

• 将 (3, 5) 按 (h, k) = (2, −1) 平移：新点为 (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4)。
• 将 (−2, 0) 按 (4, 7) 平移：新点为 (2, 7)。

平移是最简单的变换：每个点都以相同的方式移动。图形保持其大小、方向和比例——它们只是出现在坐标平面的新位置。如果你平移一个三角形，新三角形与原三角形全等（完全相同）。

反射——镜像翻转

反射将图形沿一条称为反射轴的直线进行翻转。最常见的轴是 x 轴、y 轴以及直线 y = x 和 y = −x。

• 关于 x 轴反射： (x, y) → (x, −y)。y 坐标变号。
• 关于 y 轴反射： (x, y) → (−x, y)。x 坐标变号。
• 关于 y = x 反射： (x, y) → (y, x)。交换坐标。
• 关于 y = −x 反射： (x, y) → (−y, −x)。交换并取反两个坐标。

反射保留距离和角度，但反转方向——如果原图形是顺时针顺序，反射后的图形则是逆时针顺序（反之亦然）。在坐标几何中这很重要：右手坐标系经反射后变为左手坐标系。

示例：

• 将 (3, 5) 关于 x 轴反射：(3, −5)。
• 将 (3, 5) 关于 y 轴反射：(−3, 5)。
• 将 (3, 5) 关于 y = x 反射：(5, 3)。

旋转——绕点转动

旋转将图形绕固定点（旋转中心）转动给定角度。最常见的旋转是绕原点 (0, 0) 旋转 90°、180° 和 270°：

• 逆时针旋转 90°： (x, y) → (−y, x)。
• 旋转 180°： (x, y) → (−x, −y)。
• 逆时针旋转 270°（= 顺时针旋转 90°）： (x, y) → (y, −x)。

对于绕原点的一般角度 θ 旋转，公式使用三角函数：(x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ)。上述三个“简单”情况是通过代入 θ = 90°、180°、270°（此时 cos 和 sin 为 0 和 ±1）得出的。

旋转保留距离、角度和方向——它是唯一具有此性质的非平凡等距变换。通过旋转相关的两个图形是直接全等的（形状相同，大小相同，手性相同，只是经过旋转）。

示例：

• 将 (3, 5) 逆时针旋转 90°：(−5, 3)。
• 将 (3, 5) 旋转 180°：(−3, −5)。
• 将 (3, 5) 逆时针旋转 270°：(5, −3)。

位似——缩放

位似以常数因子 k 绕中心（通常是原点）缩放图形。关于原点的位似规则为：

(x, y) → (kx, ky)

其中：

• k > 1：放大（图形变大）
• 0 < k < 1：缩小（图形变小）
• k < 0：位似与 180° 旋转的组合
• k = 1：恒等变换（无变化）
• k = −1：等同于 180° 旋转

位似保留角度（相似图形具有全等的角），但不保留距离。如果你以 k = 2 进行位似，每条长度加倍，面积变为四倍（k²），如果是三维位似，体积将变为 8 倍（k³）。

示例：

• 将 (3, 5) 以 k = 2 位似：(6, 10)。
• 将 (3, 5) 以 k = 0.5 位似：(1.5, 2.5)。
• 将 (3, 5) 以 k = −1 位似：(−3, −5)。等同于旋转 180°。

变换的组合

你可以依次应用多个变换。顺序通常很重要：

• 先平移后旋转 不同于 先旋转后平移（因为绕原点的旋转以原点为固定点——先平移会将图形移离原点）。
• 关于两条平行线连续反射 等于 垂直于这些线的平移，平移距离为两线间距的两倍。
• 关于两条相交线连续反射 等于 绕其交点的旋转，旋转角度为两线夹角的两倍。
• 滑移反射 是先反射再沿反射轴方向平移——它会产生类似沙地上脚印的图案。

实际应用

• 计算机图形学 —— 每个 2D / 3D 游戏和 CAD 工具都使用变换矩阵来在屏幕上平移、旋转和缩放模型。
• 物理学 —— 参考系的改变是坐标变换（经典力学中为伽利略变换，相对论中为洛伦兹变换）。
• 图案设计 —— 壁纸图案、瓷砖铺设和纺织品设计依赖于这四种变换的系统组合（17 种壁纸群分类了所有可能的重复 2D 图案）。
• 对称性 —— 如果某个非恒等变换将图形映射到自身，则该图形具有对称性。正方形有 8 个对称操作（4 次旋转 + 4 次反射）。

常见错误

• 混淆旋转的逆时针 (CCW) 和顺时针 (CW)。 在数学中，旋转角度默认按逆时针方向测量。“旋转 90°”除非另有说明，否则指逆时针旋转 90°。
• 混淆关于 y = x 的反射和关于 x 轴的反射。 前者交换坐标：(x,y) → (y,x)。后者翻转 y 的符号：(x,y) → (x,−y)。这两者产生的图像截然不同。
• 忘记位似按 k² 缩放面积，而不是 k。 将所有长度加倍会使面积变为四倍。许多现实世界的估算错误源于此。
• 假设所有变换都保留方向。 反射会反转方向；其他变换则保留方向。