2D 图形、3D 立体和解析几何的所有必备公式 — 按类别整理，每条公式一键调用免费计算器。54+ 个公式，无需注册。
几何学建立在少数几个反复使用的核心公式之上。最常被搜索的是标准图形的面积、周长、体积和表面积 — 加上勾股定理、距离和中点公式，以及多边形内角和 (n − 2) × 180°。记住这些，高中阶段约 80% 的几何题都能搞定。
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无论你想找的是所有几何方程、几何图形公式集、特定几何面积公式，还是简单的基础几何公式——所有必备方程都在下方各板块中。从 2D 图形（圆、三角形、多边形、四边形）到 3D 立体（立方体、圆柱、球、圆锥、棱锥）以及坐标几何（距离、中点、斜率）——这是你可以收藏整个学年的单一参考。
最常用的几何公式 — 面积、周长、勾股定理、正弦/余弦定理和海伦公式。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 三角形周长 | P = a + b + c |
三边之和。 | 使用 |
| 三角形面积（底 × 高） | A = ½ × b × h |
b = 底，h = 对该底的垂直高。 | 使用 |
| 海伦公式 | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) |
s = (a+b+c)/2（半周长）。仅知三边时使用。 | 使用 |
| 勾股定理 | a² + b² = c² |
仅适用于直角三角形 — c 为斜边。 | 使用 |
| 余弦定理 | c² = a² + b² − 2ab·cos(C) |
将勾股定理推广到任意三角形。 | 使用 |
| 正弦定理 | a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) |
适用于 ASA、AAS 或 SSA 三角形。 | 使用 |
| 45-45-90 三角形 | sides = 1 : 1 : √2 |
直角等腰 — 斜边 = 直角边 × √2。 | 使用 |
| 30-60-90 三角形 | sides = 1 : √3 : 2 |
特殊直角三角形 — 长边 = 短边 × √3。 | 使用 |
| 相似三角形比例 | side'/side = scale factor k |
所有对应边按相同的 k 成比例。 | 使用 |
正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形 — 所有四边形的面积和周长公式。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 正方形面积 | A = s² |
s = 边长。 | 使用 |
| 正方形周长 | P = 4s |
使用 | |
| 矩形面积 | A = l × w |
l = 长，w = 宽。 | 使用 |
| 矩形周长 | P = 2(l + w) |
使用 | |
| 平行四边形面积 | A = b × h |
b = 底，h = 垂直高（不是斜边）。 | 使用 |
| 平行四边形周长 | P = 2(a + b) |
a、b = 两条不同的边长。 | 使用 |
| 菱形面积 | A = ½ × d₁ × d₂ |
d₁、d₂ = 两条对角线。 | 使用 |
| 梯形面积 | A = ½ × (b₁ + b₂) × h |
b₁、b₂ = 平行底，h = 垂直高。 | 使用 |
| 梯形中位线 | m = (b₁ + b₂) / 2 |
两条平行底边的平均。 | 使用 |
面积、周长、扇形、弧长 — 所有圆相关计算都源于 π 和半径。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 圆面积 | A = π × r² |
r = 半径。等价：A = π·d²/4。 | 使用 |
| 圆周长 | C = 2π × r = π × d |
圆的"周长"。d = 2r = 直径。 | 使用 |
| 直径 | d = 2 × r |
使用 | |
| 扇形面积 | A_sector = ½ × r² × θ |
θ 为弧度。度数时：A = (θ°/360) × π × r²。 | 使用 |
| 弧长 | L = r × θ |
θ 为弧度。度数时：L = (θ°/360) × 2π × r。 | 使用 |
| 标准方程 | (x − h)² + (y − k)² = r² |
圆心 (h, k)，半径 r。解析几何形式。 | 使用 |
| 圆周角 | ∠inscribed = ½ × ∠central |
圆内接角是对应圆心角的一半。 | 使用 |
内角/外角、正多边形面积、不规则多边形的鞋带公式。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 内角之和 | S = (n − 2) × 180° |
n = 边数。五边形 (n=5) → 540°。 | 使用 |
| 每个内角（正多边形） | a = (n − 2) × 180° / n |
适用于正多边形（所有边相等）。六边形 → 120°。 | 使用 |
| 外角之和 | 360° (always, for any convex polygon) |
与 n 无关。 | 使用 |
| 每个外角（正多边形） | e = 360° / n |
六边形 → 60°，八边形 → 45°。 | 使用 |
| 由角和求边数 | n = S / 180° + 2 |
逆向：已知 S 求 n。 | 使用 |
| 正多边形面积 | A = ¼ × n × s² × cot(π/n) |
s = 边长。等价：A = ½ × P × 边心距。 | 使用 |
| 鞋带公式（任意多边形） | A = ½ × |Σᵢ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| |
适用于由顶点坐标定义的不规则多边形。 | 使用 |
立方体、长方体、球、圆柱、圆锥、棱锥的体积和表面积。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 立方体体积 | V = s³ |
s = 棱长。 | 使用 |
| 立方体表面积 | SA = 6s² |
使用 | |
| 长方体体积 | V = l × w × h |
长方体体积。 | 使用 |
| 长方体表面积 | SA = 2(lw + lh + wh) |
使用 | |
| 圆柱体积 | V = π × r² × h |
r = 半径，h = 高。 | 使用 |
| 圆柱表面积 | SA = 2πr² + 2πrh |
2 个圆形盖面 + 侧面矩形。 | 使用 |
| 球体积 | V = (4/3) × π × r³ |
使用 | |
| 球表面积 | SA = 4 × π × r² |
相当于 4 个大圆的面积。 | 使用 |
| 圆锥体积 | V = (1/3) × π × r² × h |
与相同底和高的圆柱的精确 ⅓。 | 使用 |
| 圆锥表面积 | SA = πr² + πrl |
l = 斜高 = √(r² + h²)。 | 使用 |
| 圆锥侧面积 | LSA = π × r × l |
只算曲面，不含底面。 | 使用 |
| 正四棱锥体积 | V = (1/3) × b² × h |
b = 底边。 | 使用 |
| 长方体对角线 | d = √(l² + w² + h²) |
3D 勾股定理。 | 使用 |
距离、中点、斜率、定比分点公式 — 解析几何核心。
| 公式 | 方程 | 说明 | 计算 |
|---|---|---|---|
| 两点间距离 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
2D 勾股定理应用于坐标。 | 使用 |
| 中点公式 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
线段的精确中心。 | 使用 |
| 直线斜率 | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) |
纵向变化比横向变化。垂直线：斜率未定义。 | 使用 |
| 斜截式 | y = mx + b |
m = 斜率，b = y 截距。 | 使用 |
| 点斜式 | y − y₁ = m(x − x₁) |
由一个已知点 + 斜率构造直线。 | 使用 |
| 定比分点公式（内分） | P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) |
按 m : n 内分线段的点。10 年级核心。 | 使用 |
| 3D 距离 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
在 2D 距离公式上加入 z 轴。 | 使用 |
| 平行线 | m₁ = m₂ |
斜率相等。 | 使用 |
| 垂直线 | m₁ × m₂ = −1 |
斜率互为负倒数。 | 使用 |
高中阶段：三角形/矩形/圆/平行四边形/梯形的面积 + 周长；立方体/圆柱/球的体积 + 表面积；勾股定理（a² + b² = c²）；距离公式；以及多边形内角和 (n − 2) × 180°。其他都可在几秒内由这些推导出来。
周长测量轮廓（1D —— 单位如 cm）。面积测量 2D 表面（单位如 cm²）。体积测量 3D 立体内部空间（单位如 cm³）。边长 5 cm 的正方形周长 20 cm，面积 25 cm²，（作为立方体）体积 125 cm³。
任意 n 边多边形可通过从一个顶点画对角线分成 (n − 2) 个不重叠的三角形。每个三角形的内角和为 180°，所以多边形总内角和为 (n − 2) × 180°。五边形（n = 5）分成 3 个三角形 → 540°。
已知底和对应底的垂直高时用 ½ × 底 × 高。仅知三条边长（没有高）时用海伦公式。海伦公式：A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2。
侧表面积（LSA = πrl）只算曲面，其中 l = √(r² + h²) 是斜高。总表面积（SA = πr² + πrl）再加上圆形底面。包裹圆锥（如涂漆、贴布）时用侧面积，完全封闭时用总面积。
以上所有公式使用欧几里得（平面）几何与笛卡尔（直角）坐标。未经转换不适用于球面几何（地球表面）、双曲几何或非笛卡尔系统（极坐标、柱坐标）。日常学校和工程数学中，欧几里得覆盖范围已足够。
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