Calculateur de quadrilatère inscrit

Un quadrilatère inscrit (également appelé quadrilatère cyclique) est un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent tous sur un même cercle. Sa propriété la plus utile est la règle selon laquelle les angles opposés sont supplémentaires :

∠A + ∠C = 180° et ∠B + ∠D = 180°

Cette calculatrice applique cette règle : entrez n'importe quel angle, obtenez son opposé. Ce tutoriel couvre le théorème, la preuve (en utilisant le Théorème de l'angle inscrit) et sa relation avec la réciproque — un quadrilatère ayant des angles opposés supplémentaires doit être cyclique.

Le théorème du quadrilatère inscrit

Pour tout quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle :

• ∠A + ∠C = 180° (une paire d'angles opposés)
• ∠B + ∠D = 180° (l'autre paire)

L'une ou l'autre équation impose l'autre, car la somme des 4 angles doit toujours être de 360°.

Pourquoi le théorème est vrai

La preuve utilise le Théorème de l'angle inscrit : un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre qui sous-tend le même arc.

Pour le quadrilatère cyclique ABCD :

• L'angle A est un angle inscrit qui intercepte l'arc BCD (dans un sens autour du cercle).
• L'angle C est un angle inscrit qui intercepte l'arc DAB (dans l'autre sens).
• Ces deux arcs ensemble constituent la totalité du cercle = 360°.

Chaque angle inscrit est la moitié de l'arc qu'il intercepte. Donc ∠A + ∠C = (arc BCD)/2 + (arc DAB)/2 = (arc BCD + arc DAB)/2 = 360°/2 = 180°. ✓

Même logique pour ∠B + ∠D.

La réciproque

Le théorème fonctionne également en sens inverse : si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est de 180°, alors le quadrilatère EST cyclique (inscrit dans un cercle).

Ainsi, le théorème est une condition « si et seulement si » :

• Quadrilatère cyclique → angles opposés supplémentaires
• Angles opposés supplémentaires → le quadrilatère est cyclique

C'est un outil de preuve courant : montrer qu'un certain quadrilatère a des angles opposés supplémentaires permet de conclure qu'il est inscrit dans un cercle.

Exemple résolu 1 — trouver l'angle opposé

Quadrilatère cyclique avec ∠A = 110°. Trouver ∠C.

∠C = 180° − 110° = 70°.

Exemple résolu 2 — les quatre angles

Quadrilatère cyclique avec ∠A = 95°, ∠B = 80°. Trouver ∠C et ∠D.

∠C = 180° − ∠A = 85°.
∠D = 180° − ∠B = 100°.

Vérification : ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 95 + 80 + 85 + 100 = 360°. ✓

Exemple résolu 3 — vérifier qu'un quadrilatère est cyclique

Étant donné un quadrilatère avec des angles de 90°, 95°, 90°, 85°. Est-il cyclique ?

Vérifier la première paire opposée : 90° + 90° = 180°. ✓
Vérifier la deuxième paire opposée : 95° + 85° = 180°. ✓

Les deux paires sont supplémentaires. Par la réciproque, le quadrilatère EST cyclique.

Quadrilatères toujours cycliques

• Rectangle : tous les angles sont de 90°, donc les angles opposés somment à 180°. Toujours cyclique.
• Carré : rectangle particulier. Toujours cyclique.
• Trapeze isocèle : la symétrie impose des angles opposés supplémentaires. Toujours cyclique.
• Droite (kite) rectangle : un quadrilatère avec deux angles opposits droits. Cyclique.

Quadrilatères JAMAIS (nécessairement) cycliques

• Parallélogramme quelconque (non rectangle) : les angles opposés sont ÉGAUX (et non supplémentaires), donc leur somme est 2·angle, ce qui n'est égal à 180° que lorsque l'angle = 90°. Ainsi, les parallélogrammes non rectangulaires ne SONT PAS cycliques.
• Rhombus non carré : un parallélogramme, soumis à la même règle. NON cyclique.
• Droite (kite) quelconque : peut être cyclique ou non selon ses angles.

Relation diagonale-angle

Pour un quadrilatère cyclique, l'angle entre une diagonale et un côté est égal à l'angle entre la diagonale et le côté qu'elle sous-tend de l'autre côté du quadrilatère. (Théorème de l'angle inscrit sur la même corde.)

Cela crée de nombreuses égalités d'angles supplémentaires dans les problèmes de quadrilatères cycliques.

Applications réelles

• Géométrie olympique. Les identités des quadrilatères cycliques apparaissent dans des dizaines de problèmes de compétition.
• Astronomie (historique). Les identités de Brahmagupta et de Ptolémée pour les quadrilatères cycliques ont soutenu les calculs de la sphère céleste.
• Arpentage. Si les quatre coins d'une parcelle se trouvent sur un cercle connu, le théorème des angles aide à vérifier les mesures.
• Architecture. Des formes de quadrilatères inscrits apparaissent dans les vitraux et les rosaces.

Erreurs courantes

• Traiter les angles opposés comme égaux. Dans les quadrilatères cycliques, les angles opposés sont SUPPLÉMENTAIRES (180°), et non égaux. Les angles opposés sont égaux dans les PARALLÉLOGRAMMES, qui ne sont PAS généralement cycliques.
• Oublier la réciproque. « Cyclique → supplémentaire » et « supplémentaire → cyclique » sont toutes deux vraies et utilisées dans différents problèmes.
• Appliquer la règle aux quadrilatères non cycliques. La plupart des quadrilatères ne sont pas cycliques. Vérifiez d'abord la condition de supplémentarité.
• Confondre quadrilatère inscrit et quadrilatère circonscrit. Inscrit = sommets sur le cercle. Circonscrit = côtés tangents au cercle. Concepts différents, théorèmes différents.