内接四角形計算機

円内接四角形（または円周角の定理を用いた四角形とも呼ばれる）とは、4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形のことです。その最も有用な性質は、対角の和が180度になる（補角である）という規則です：

∠A + ∠C = 180° かつ ∠B + ∠D = 180°

この計算機はその規則を適用します：任意の1つの角度を入力すると、その対角が求められます。このチュートリアルでは、この定理、その証明（円周角の定理を使用）、およびその逆命題（対角の和が180度である四角形は必ず円周に内接する）との関係について解説します。

円内接四角形の定理

円に内接する任意の四角形ABCDにおいて：

• ∠A + ∠C = 180° （1組の対角）
• ∠B + ∠D = 180° （もう1組の対角）

いずれかの方程式が成立すれば、他の方程式も必然的に成立します。なぜなら、4つの角の総和は常に360°だからです。

定理が成り立つ理由

この証明には円周角の定理が用いられます。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分です。

円内接四角形ABCDにおいて：

• 角Aは、弧BCD（円の一方の側）を挟む円周角です。
• 角Cは、弧DAB（円の他方の側）を挟む円周角です。
• これら2つの弧を合わせると、円全体（360°）になります。

各円周角は、それが挟む弧の半分です。したがって、∠A + ∠C = (弧BCD)/2 + (弧DAB)/2 = (弧BCD + 弧DAB)/2 = 360°/2 = 180° となります。✓

∠B + ∠Dについても同様の論理が適用されます。

逆定理

この定理は逆方向にも成り立ちます：四角形の対角の和が180°であれば、その四角形は円内接四角形である（円に内接する）ことが保証されます。

つまり、この定理は「必要十分条件」です：

• 円内接四角形 → 対角は補角である
• 対角が補角である → 四角形は円内接四角形である

これはよく使われる証明の手法です：ある四角形の対角の和が180°であることを示すことで、その四角形が円周上にあることを結論付けます。

worked example 1 — 対角を求める

∠A = 110° の円内接四角形があります。∠C を求めてください。

∠C = 180° − 110° = 70°。

worked example 2 — 4つの角すべて

∠A = 95°, ∠B = 80° の円内接四角形があります。∠C と ∠D を求めてください。

∠C = 180° − ∠A = 85°。
∠D = 180° − ∠B = 100°。

確認：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 95 + 80 + 85 + 100 = 360°。✓

worked example 3 — 四角形が円内接していることの検証

角が 90°, 95°, 90°, 85° である四角形が与えられています。これは円内接四角形ですか？

1組目の対角を確認：90° + 90° = 180°。✓
2組目の対角を確認：95° + 85° = 180°。✓

両方の対角の和が180°です。逆定理により、この四角形は円内接四角形であることがわかります。

常に円内接する四角形

• 長方形： すべての角が90°なので、対角の和は180°になります。常に円内接します。
• 正方形： 特別な長方形です。常に円内接します。
• 等脚台形： 対称性により対角が補角になります。常に円内接します。
• 直角ひし形（右風車形）： 2つの対角が直角であるひし形です。円内接します。

必ずしも円内接しない四角形

• 一般的な平行四辺形（長方形以外）：対角は等しい（補角ではない）ため、その和は 2×角度 になります。これは角度が90°の場合のみ180°になります。したがって、長方形以外の平行四辺形は円内接しません。
• 正方形以外のひし形： 平行四辺形なので、上記と同じ規則が適用されます。円内接しません。
• 一般的なひし形： 角度によっては円内接する場合としない場合があります。

対角線と角の関係

円内接四角形において、対角線と辺がなす角は、対角線と四角形の向かい側の辺がなす角に等しくなります。（同じ弦に対する円周角の定理より。）

これにより、円内接四角形の問題では多くの追加的な角の等価関係が生まれます。

現実世界での応用

• 数学オリンピック幾何学。 円内接四角形の恒等式は、数多くの競技問題で登場します。
• 天文学（歴史的）。 ブラフマグプタやプトレマイオスの円内接四角形に関する恒等式は、天球計算を支えました。
• 測量。 区画の4つの隅が既知の円周上にある場合、この角の定理は測定値の検証に役立ちます。
• 建築。 円内接四角形の形状は、ステンドグラスやローズウィンドウのデザインに見られます。

よくある間違い

• 対角を等しいとみなすこと。 円内接四角形では、対角は補角（和が180°）であり、等しいわけではありません。対角が等しいのは平行四辺形であり、それらは一般的に円内接しません。
• 逆定理を忘れること。 「円内接 → 補角」と「補角 → 円内接」の両方が真であり、異なる問題で用いられます。
• 非円内接四角形にこの規則を適用すること。 ほとんどの四角形は円内接していません。まず補角の条件を確認してください。
• 円内接四角形と外接四角形を混同すること。 円内接＝頂点が円周上にあること。外接＝辺が円に接すること。異なる概念であり、異なる定理が適用されます。