Einbeschriebenes-Viereck-Rechner

Ein Sehnenviereck (auch zyklisches Viereck genannt) ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte alle auf einem einzigen Kreis liegen. Die nützlichste Eigenschaft ist die Regel, dass gegenüberliegende Winkel supplementär sind:

∠A + ∠C = 180° und ∠B + ∠D = 180°

Dieser Rechner wendet diese Regel an: Geben Sie einen beliebigen Winkel ein, erhalten Sie den gegenüberliegenden Winkel. Dieses Tutorial behandelt den Satz, den Beweis (unter Verwendung des Sehnensatzes) und seine Beziehung zum Konversen — ein Viereck mit supplementären gegenüberliegenden Winkeln muss zyklisch sein.

Der Sehnenviereck-Satz

Für jedes in einen Kreis eingeschriebene Viereck ABCD gilt:

• ∠A + ∠C = 180° (ein Paar gegenüberliegender Winkel)
• ∠B + ∠D = 180° (das andere Paar)

Jede der beiden Gleichungen erzwingt die andere, da sich alle 4 Winkel unabhängig voneinander zu 360° summieren müssen.

Warum der Satz wahr ist

Der Beweis verwendet den Sehnensatz: Ein Umfangswinkel in einem Kreis ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel, der denselben Bogen überspannt.

Für das zyklische Viereck ABCD gilt:

• Der Winkel A ist ein Umfangswinkel, der den Bogen BCD überspannt (in einer Richtung um den Kreis).
• Der Winkel C ist ein Umfangswinkel, der den Bogen DAB überspannt (in der anderen Richtung).
• Diese beiden Bögen zusammen ergeben den gesamten Kreis = 360°.

Jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie sein überspannter Bogen. Also ist ∠A + ∠C = (Bogen BCD)/2 + (Bogen DAB)/2 = (Bogen BCD + Bogen DAB)/2 = 360°/2 = 180°. ✓

Die gleiche Logik gilt für ∠B + ∠D.

Der Konverse

Der Satz funktioniert auch in umgekehrter Richtung: Wenn sich die gegenüberliegenden Winkel eines Vierecks zu 180° summieren, IST das Viereck zyklisch (in einen Kreis eingeschrieben).

Der Satz ist also eine "Genau-dann-wenn"-Aussage:

• Zyklisches Viereck → gegenüberliegende Winkel sind supplementär
• Gegenüberliegende Winkel sind supplementär → Viereck ist zyklisch

Dies ist ein häufiges Beweismittel: Zeigen Sie, dass ein bestimmtes Viereck supplementäre gegenüberliegende Winkel hat, um zu schließen, dass es auf einem Kreis liegt.

Bearbeitetes Beispiel 1 — gegenüberliegenden Winkel finden

Zyklisches Viereck mit ∠A = 110°. Finden Sie ∠C.

∠C = 180° − 110° = 70°.

Bearbeitetes Beispiel 2 — alle vier Winkel

Zyklisches Viereck mit ∠A = 95°, ∠B = 80°. Finden Sie ∠C und ∠D.

∠C = 180° − ∠A = 85°.
∠D = 180° − ∠B = 100°.

Prüfung: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 95 + 80 + 85 + 100 = 360°. ✓

Bearbeitetes Beispiel 3 — Überprüfung, ob ein Viereck zyklisch ist

Gegeben ist ein Viereck mit den Winkeln 90°, 95°, 90°, 85°. Ist es zyklisch?

Prüfen Sie das erste Gegenüberpaar: 90° + 90° = 180°. ✓
Prüfen Sie das zweite Gegenüberpaar: 95° + 85° = 180°. ✓

Beide Paare sind supplementär. Nach dem Konversen IST das Viereck zyklisch.

Vierecke, die immer zyklisch sind

• Rechteck: Alle Winkel sind 90°, daher summieren sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180°. Immer zyklisch.
• Quadrat: Spezielles Rechteck. Immer zyklisch.
• Isosceles Trapezoid (gleichschenkliges Trapez): Die Symmetrie erzwingt supplementäre gegenüberliegende Winkel. Immer zyklisch.
• Rechter Drachenviereck: Ein Drachenviereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln. Zyklisch.

Vierecke, die NIEMALS (notwendigerweise) zyklisch sind

• Allgemeines Parallelogramm (kein Rechteck): Gegenüberliegende Winkel sind GLEICH (nicht supplementär), daher summieren sie sich zu 2·Winkel, was nur dann 180° ergibt, wenn der Winkel 90° beträgt. Nicht-rechtwinklige Parallelogramme sind NICHT zyklisch.
• Nicht-quadratisches Rhombus: Ein Parallelogramm, unterliegt also derselben Regel. NICHT zyklisch.
• Allgemeines Drachenviereck: Kann je nach seinen Winkeln zyklisch sein oder nicht.

Die Beziehung zwischen Diagonale und Winkel

Für ein zyklisches Viereck ist der Winkel zwischen einer Diagonalen und einer Seite gleich dem Winkel zwischen der Diagonalen und der Seite, die sie im Viereck überspannt. (Sehnensatz für dieselbe Sehne.)

Dies führt bei Problemen mit zyklischen Vierecken zu vielen weiteren Winkelgleichheiten.

Anwendungen in der Praxis

• Mathematik-Olympiaden. Identitäten für zyklische Vierecke treten in Dutzenden von Wettbewerbsproblemen auf.
• Astronomie (historisch). Die Identitäten von Brahmagupta und Ptolemäus für zyklische Vierecke unterstützten Berechnungen der Himmelskugel.
• Vermessungswesen. Wenn vier Ecken eines Grundstücks auf einem bekannten Kreis liegen, hilft der Winkelsatz bei der Überprüfung der Messungen.
• Architektur. Formen von eingeschriebenen Vierecken erscheinen in Bleiglas- und Rosettenfenster-Entwürfen.

Häufige Fehler

• Gegenüberliegende Winkel als gleich behandeln. Bei zyklischen Vierecken sind gegenüberliegende Winkel SUPPLEMENTÄR (180°), nicht gleich. Gegenüberliegende Winkel sind bei PARALLELOGRAMMEN gleich, die jedoch im Allgemeinen NICHT zyklisch sind.
• Den Konversen vergessen. "Zyklisch → supplementär" und "supplementär → zyklisch" sind beide wahr und werden in verschiedenen Problemen verwendet.
• Die Regel auf nicht-zyklische Vierecke anwenden. Die meisten Vierecke sind nicht zyklisch. Prüfen Sie zuerst die Supplementaritätsbedingung.
• Eingeschriebenes Viereck mit umgeschriebenem Viereck verwechseln. Eingeschrieben = Eckpunkte auf dem Kreis. Umschrieben = Seiten tangential zum Kreis. Unterschiedliche Konzepte, unterschiedliche Sätze.