Calculateur de droites parallèles et triangles

Le Théorème de la proportionnalité dans un triangle (également appelé Théorème de la droite transversale ou Théorème de Thalès dans le triangle) énonce : si une droite est tracée parallèle à l'un des côtés d'un triangle et coupe les deux autres côtés, elle divise ces deux côtés en segments proportionnels. Symboliquement : dans le triangle ABC avec la droite DE parallèle à BC (D sur AB, E sur AC) :

AD / DB = AE / EC

Ce tutoriel couvre le théorème, sa réciproque, deux exemples résolus et son rôle fondamental dans de nombreuses démonstrations de similitude de triangles.

Configuration

Considérons un triangle ABC quelconque. Traçons une droite DE à l'intérieur du triangle telle que :

• D se trouve sur le côté AB
• E se trouve sur le côté AC
• DE est parallèle au côté BC

La droite DE « scinde » les côtés AB et AC chacun en deux parties. Le théorème affirme que ces parties sont dans le même rapport.

La proportion

AD : DB = AE : EC

De manière équivalente : AD × EC = DB × AE (forme par produit en croix).

Aussi : AD / AB = AE / AC (rapports des parties supérieures aux longueurs totales).

Pourquoi le théorème est vrai

La droite parallèle crée des triangles semblables. △ADE ~ △ABC par AA (Angle-Angle) :

• Ils partagent l'angle A.
• ∠ADE = ∠ABC (angles correspondants, car DE ∥ BC).

Par similitude, AD/AB = AE/AC = DE/BC. À partir de AD/AB = AE/AC, l'algèbre élémentaire donne AD/DB = AE/EC (soustraire 1 à chaque rapport : (AD−AB)/AB = (AE−AC)/AC, manipuler pour obtenir AD/DB = AE/EC).

Exemple résolu 1 — trouver un segment inconnu

Dans le triangle ABC, la droite DE est parallèle à BC, avec D sur AB et E sur AC. On donne AD = 6, DB = 4, AE = 9. Trouver EC.

D'après le théorème : AD/DB = AE/EC → 6/4 = 9/EC → EC = (4 × 9) / 6 = 6.

Exemple résolu 2 — trouver un segment manquant ailleurs

Dans le triangle XYZ, la droite PQ est parallèle à YZ, avec P sur XY et Q sur XZ. On donne XP = 5, PY = 3, XQ = 10. Trouver QZ.

XP/PY = XQ/QZ → 5/3 = 10/QZ → QZ = (3 × 10) / 5 = 6.

Réciproque

La réciproque est également vraie : si une droite divise deux côtés d'un triangle proportionnellement, alors elle est parallèle au troisième côté.

Ainsi, si AD/DB = AE/EC, alors DE ∥ BC.

Cette réciproque est utile pour démontrer le parallélisme de droites à partir de données de longueurs de segments — une tâche courante dans les démonstrations géométriques.

Le théorème de Thalès (extension multi-lignes)

La même proportionnalité s'applique à un nombre quelconque de droites parallèles coupant deux sécantes. Trois droites parallèles coupées par deux sécantes produisent des segments proportionnels sur les deux sécantes — même en dehors du contexte triangulaire.

Ceci est appelé le Théorème de Thalès (ou Théorème des intercepts dans certains manuels). Le Théorème de la proportionnalité dans un triangle est le cas particulier où une sécante devient le côté AB et l'autre le côté AC, les deux droites parallèles étant BC et DE.

Exemple résolu 3 — extension via la réciproque

Dans le triangle ABC, le point D sur AB vérifie AD = 4 et DB = 6. Le point E sur AC vérifie AE = 6 et EC = 9. La droite DE est-elle parallèle à BC ?

Vérification : AD/DB = 4/6 = 2/3. AE/EC = 6/9 = 2/3.

Les rapports sont égaux, donc par la réciproque, DE EST parallèle à BC.

Applications pratiques

• Topographie : mesurer une distance inaccessible en construisant des triangles semblables avec des segments proportionnels mesurables.
• Méthode des ombres : mesurer la hauteur d'arbres ou de bâtiments via des triangles semblables formés par l'ombre au soleil.
• Ingénierie : modèles réduits et raisonnement proportionnel dans la conception.
• Démonstrations géométriques : ce théorème est un élément constitutif des théorèmes de similitude et de nombreuses constructions à la règle et au compas.

Erreurs fréquentes

• Confondre AD/DB avec AD/AB. Le théorème dit « rapport des deux parties » (AD/DB), et non « rapport de la partie supérieure au tout » (AD/AB). Les deux fonctionnent dans des proportions similaires mais correspondent à des équations différentes.
• Appliquer le théorème sans ligne parallèle. La proportionnalité ne vaut que lorsque DE ∥ BC. Sans parallélisme, les segments ne sont pas divisés proportionnellement.
• Inverser l'un des rapports. AD/DB = AE/EC — les deux fractions sont dans le même sens. Inverser seulement l'une d'elles (par exemple AD/DB = EC/AE) donne une relation différente (fausse).