Calculadora de retas paralelas e triângulos

O Teorema da Proporcionalidade dos Triângulos (também chamado de Teorema do Segmento Divisor ou Teorema da Proporcionalidade Básica) afirma: se uma reta é traçada paralela a um lado de um triângulo e intersecta os outros dois lados, ela divide esses dois lados proporcionalmente. Simbolicamente: no triângulo ABC com a reta DE traçada paralela a BC (D em AB, E em AC):

AD / DB = AE / EC

Este tutorial cobre o teorema, sua recíproca, dois exemplos resolvidos e como ele sustenta muitas demonstrações de semelhança de triângulos.

A configuração

Considere qualquer triângulo ABC. Trace uma linha DE dentro do triângulo tal que:

• D esteja no lado AB
• E esteja no lado AC
• DE seja paralela ao lado BC

A linha DE "divide" os lados AB e AC em duas partes cada. O teorema diz que essas partes estão na mesma razão.

A proporção

AD : DB = AE : EC

Equivalentemente: AD × EC = DB × AE (forma de multiplicação cruzada).

Também: AD / AB = AE / AC (proporções das partes superiores em relação aos inteiros).

Por que o teorema é verdadeiro

A linha paralela cria triângulos semelhantes. △ADE ~ △ABC por AA (Ângulo-Ângulo):

• Eles compartilham o ângulo A.
• ∠ADE = ∠ABC (ângulos correspondentes, DE ∥ BC).

Pela semelhança, AD/AB = AE/AC = DE/BC. De AD/AB = AE/AC, a álgebra básica fornece AD/DB = AE/EC (subtraia 1 de cada razão: (AD−AB)/AB = (AE−AC)/AC, manipule para obter AD/DB = AE/EC).

Exemplo resolvido 1 — encontrar segmento desconhecido

No triângulo ABC, a linha DE ∥ BC, com D em AB e E em AC. Dados AD = 6, DB = 4, AE = 9. Encontre EC.

Pelo teorema: AD/DB = AE/EC → 6/4 = 9/EC → EC = (4 × 9) / 6 = 6.

Exemplo resolvido 2 — encontrar um segmento faltante em outro lugar

No triângulo XYZ, a linha PQ ∥ YZ, com P em XY e Q em XZ. Dados XP = 5, PY = 3, XQ = 10. Encontre QZ.

XP/PY = XQ/QZ → 5/3 = 10/QZ → QZ = (3 × 10) / 5 = 6.

A recíproca

A recíproca também é válida: se uma linha divide dois lados de um triângulo proporcionalmente, então ela é paralela ao terceiro lado.

Portanto, se AD/DB = AE/EC, então DE ∥ BC.

Esta recíproca é útil para provar que linhas são paralelas a partir de dados de comprimento de segmentos — uma tarefa comum em demonstrações geométricas.

O teorema das transversais (extensão multi-linha)

A mesma proporcionalidade funciona para qualquer número de linhas paralelas cruzando duas transversais. Três linhas paralelas cortadas por duas transversais produzem segmentos proporcionais em ambas as transversais — mesmo fora do contexto do triângulo.

Isso é chamado de Teorema das Transversais (ou Teorema de Tales em alguns livros didáticos). O Teorema da Proporcionalidade dos Triângulos é o caso especial onde uma transversal se torna o lado AB e a outra se torna o lado AC, com duas linhas paralelas sendo BC e DE.

Exemplo resolvido 3 — extensão via recíproca

No triângulo ABC, o ponto D em AB tem AD = 4 e DB = 6. O ponto E em AC tem AE = 6 e EC = 9. A linha DE é paralela a BC?

Verifique: AD/DB = 4/6 = 2/3. AE/EC = 6/9 = 2/3.

As razões são iguais, então, pela recíproca, DE É paralela a BC.

Aplicações no mundo real

• Levantamento topográfico: medir uma distância inacessível configurando triângulos semelhantes com segmentos proporcionais mensuráveis.
• Métodos de sombra: medir alturas de árvores ou prédios via triângulos semelhantes de sol-sombra.
• Engenharia: modelos em escala e raciocínio proporcional no projeto.
• Demonstrações geométricas: o teorema é um bloco de construção para teoremas de semelhança e muitas construções com régua e compasso.

Erros comuns

• Confundir AD/DB com AD/AB. O teorema diz "razão das duas partes" (AD/DB), não "razão da parte superior para o inteiro" (AD/AB). Ambas funcionam em proporções semelhantes, mas são equações diferentes.
• Aplicar o teorema sem a linha paralela. A proporcionalidade só vale quando DE ∥ BC. Sem paralelismo, os segmentos não se dividem proporcionalmente.
• Inverter uma das razões. AD/DB = AE/EC — ambas as frações na mesma direção. Inverter apenas uma (por exemplo, AD/DB = EC/AE) resulta em uma relação diferente (incorreta).