평행선과 삼각형 계산기

삼각형 비례성 정리(또는 변 분할 정리 또는 기본 비례성 정리)는 다음과 같이 서술됩니다: 삼각형의 한 변에 평행한 직선을 그어 나머지 두 변과 교차하게 하면, 그 직선은 두 변을 비례하게 나눈다. 기호로 표현하면: 삼각형 ABC에서 변 BC에 평행한 직선 DE를 그렸을 때(D는 AB 위에, E는 AC 위에):

AD / DB = AE / EC

이 튜토리얼에서는 정리의 내용, 역, 두 가지 풀이 예시, 그리고 이 정리가 많은 삼각형 닮음 증명들의 기초가 되는 방법을 다룹니다.

설정

임의의 삼각형 ABC를 취합니다. 삼각형 내부에 직선 DE를 다음과 같이 그립니다:

• D는 변 AB 위에 있음
• E는 변 AC 위에 있음
• DE는 변 BC와 평행함

직선 DE는 변 AB와 AC를 각각 두 부분으로 "분할"합니다. 이 정리는 이러한 부분들이 동일한 비율을 가진다고 말합니다.

비례식

AD : DB = AE : EC

동치인 형태: AD × EC = DB × AE (교차 곱셈 형태).

또한: AD / AB = AE / AC (위쪽 부분과 전체의 비).

정리의 타당성

평행선은 닮은 삼각형을 만듭니다. △ADE ~ △ABC (AA 닮음):

• 각 A를 공유합니다.
• ∠ADE = ∠ABC (동위각, DE ∥ BC).

닮음에 의해 AD/AB = AE/AC = DE/BC입니다. AD/AB = AE/AC로부터 기본 대수학을 통해 AD/DB = AE/EC를 얻을 수 있습니다(각 비율에서 1을 빼면: (AD−AB)/AB = (AE−AC)/AC, 이를 조작하여 AD/DB = AE/EC를 얻음).

풀이 예제 1 — 미지 선분 구하기

삼각형 ABC에서 직선 DE ∥ BC이며, D는 AB 위에, E는 AC 위에 있습니다. AD = 6, DB = 4, AE = 9일 때, EC를 구하십시오.

정리에 따라: AD/DB = AE/EC → 6/4 = 9/EC → EC = (4 × 9) / 6 = 6.

풀이 예제 2 — 다른 곳의 누락된 선분 구하기

삼각형 XYZ에서 직선 PQ ∥ YZ이며, P는 XY 위에, Q는 XZ 위에 있습니다. XP = 5, PY = 3, XQ = 10일 때, QZ를 구하십시오.

XP/PY = XQ/QZ → 5/3 = 10/QZ → QZ = (3 × 10) / 5 = 6.

역

역도 성립합니다: 만약 한 직선이 삼각형의 두 변을 비례하게 나눈다면, 그 직선은 제3의 변과 평행합니다.

즉, AD/DB = AE/EC라면 DE ∥ BC입니다.

이 역은 선분 길이 데이터를 바탕으로 직선의 평행을 증명하는 데 유용합니다. 이는 기하학 증명에서 흔한 작업입니다.

간섭 정리 (다중 선 확장)

동일한 비례성은 두 횡단선에 교차하는 임의의 수의 평행선에 대해 적용됩니다. 세 평행선이 두 횡단선에 의해 잘리면, 삼각형 맥락 밖에서도 두 횡단선 모두에 비례적인 선분이 생성됩니다.

이를 간섭 정리(일부 교과서에서는 탈레스의 정리라고 함)라고 합니다. 삼각형 비례성 정리는 하나의 횡단선이 변 AB가 되고 다른 하나가 변 AC가 되며, 두 평행선이 BC와 DE가 되는 특수한 경우입니다.

풀이 예제 3 — 역을 통한 확장

삼각형 ABC에서 변 AB 위의 점 D는 AD = 4, DB = 6을 가집니다. 변 AC 위의 점 E는 AE = 6, EC = 9를 가집니다. 직선 DE는 BC와 평행합니까?

확인: AD/DB = 4/6 = 2/3. AE/EC = 6/9 = 2/3.

비율이 같으므로, 역에 따라 DE는 BC와 평행합니다.

실생활 응용

• 측량: 측정 가능한 비례적 선분을 가진 닮은 삼각형을 구성하여 접근 불가능한 거리를 측정합니다.
• 그림자 방법: 햇빛 그림자를 이용한 닮은 삼각형을 통해 나무 높이 또는 건물 높이를 측정합니다.
• 공학: 설계에서의 축소 모형 및 비례 추론.
• 기하학 증명: 이 정리는 닮음 정리들과 많은 작도법의 기초가 됩니다.

흔한 실수

• AD/DB와 AD/AB를 혼동함. 정리는 "두 부분의 비"(AD/DB)를 말하며, "위쪽 부분과 전체의 비"(AD/AB)가 아닙니다. 둘 다 비례 관계에서 작동하지만 서로 다른 방정식입니다.
• 평행선 없이 정리를 적용함. 비례성은 DE ∥ BC일 때만 성립합니다. 평행성이 없으면 선분들은 비례적으로 나뉘지 않습니다.
• 비율 중 하나를 뒤집음. AD/DB = AE/EC — 두 분수는 같은 방향입니다. 하나만 뒤집으면(예: AD/DB = EC/AE) 다른(잘못된) 관계가 도출됩니다.