Todos los sólidos 3D en la geometría estándar — cubo, prisma rectangular (caja), cilindro, esfera, cono, pirámide cuadrada — tienen una fórmula de volumen de una línea y una fórmula de área superficial de una línea. Memoriza estas y habrás cubierto el 95% de los problemas 3D escolares. Esta guía los recopila todos en un solo lugar con ejemplos resueltos.
| Sólido | Volumen (V) | Área Superficial (SA) |
|---|---|---|
| Cubo (lado s) | s³ | 6s² |
| Prisma Rectangular (l, a, h) | l × a × h | 2(la + lh + ah) |
| Cilindro (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| Esfera (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| Cono (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, donde l = √(r² + h²) |
| Pirámide Cuadrada (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · altura_inclinada |
| Prisma Triangular (B, h) | B × h (B = área del triángulo) | 2B + perímetro × h |
La forma 3D más simple — todos los 12 bordes iguales, 6 caras cuadradas.
Ejemplo: un cubo con lado 4 cm: V = 64 cm³, SA = 96 cm², diagonal = 4√3 ≈ 6.93 cm.
Largo l, ancho a, altura h. El sólido 3D más común en la vida real (habitaciones, cajas, piscinas).
Ejemplo: una caja 8 × 5 × 3: V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9.90.
Dos bases circulares (radio r) conectadas por una superficie lateral curva, altura h.
Ejemplo: cilindro r = 3, h = 10: V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282.74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245.04.
La forma 3D más simple — definida solo por el radio. El volumen y el área superficial dependen solo de r.
Ejemplo: una pelota de baloncesto con diámetro 24 cm tiene r = 12. V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm².
Una base circular (radio r) que se estrecha hasta un solo punto, altura h. El más complicado del grupo porque el área superficial usa la altura INCLINADA (no la altura vertical).
Ejemplo: cono r = 6, h = 8. Inclinada l = √(36 + 64) = √100 = 10. V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301.59 cm².
Base cuadrada (lado b) que se estrecha hasta un punto, altura vertical h.
Este es uno de los hechos más interesantes en geometría: un cono y un cilindro con la misma base y la misma altura — el cono tiene exactamente 1/3 del volumen del cilindro. Puedes verificarlo experimentalmente con agua: llena un contenedor en forma de cono, viértelo en un cilindro de las mismas dimensiones — toma exactamente 3 llenados de cono. Lo mismo aplica a pirámide vs prisma con la misma base + altura.
Dos formas de derivarlo: (1) integración de cálculo de rebanadas de disco, (2) principio de Cavalieri comparando con un cilindro con conos removidos. El "(4/3)" proviene de la integral ∫(πr² − πx²) dx evaluada de −r a r.